プロジェクトオイラー2.

この記事の所要時間：約 2分35秒

No.2 Even Fibonacci numbers

問題.

Q. 直前の2項の和を次の項として生成されるフィボナッチ数列において, 1, 2, から始めたときの最初の10項は次のようになる.

$\begin{equation*} 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots \end{equation*}$

この数列の4,000,000未満の項で偶数のものの総和はいくらか.

考え方とプログラム例(Python)

1. 4,000,000 未満の項すべてを調べる

ループを用いて 4,000,000 未満の項を順に生成し, 偶数であるもののみを足し上げていきます.

a = 1
b = 2
c = a + b
Sum = 2
while c <= 4000000:
	if c % 2 == 0:
		Sum += c
	a = b
	b = c
	c = a + b
print Sum

a = 1

b = 2

c = a + b

Sum = 2

while c <= 4000000:

if c % 2 == 0:

Sum += c

a = b

b = c

c = a + b

print Sum

計算時間は $5.18\times 10^{-4}$ 秒でした.

2. 偶数項のみの数列を考える

この数列を見ると,

1 (奇数), 2(偶数), 3(奇数), 5(奇数), 8(偶数), 13(奇数), …

と 2個おきに偶数項がでてきます.

もとの数列を $\{F_n\}$ として, $a_n=F_{3n-1}$ , $b_n=F_{3n}$ とおきます.

$\{a_n\}$ が偶数項のみ取り出したものです.

すると,

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=& F_{3n+2}\\ &=& F_{3n+1}+F_{3n}\\ &=& F_{3n-1}+2F_{3n}\\ &=& a_n+2b_n \end{eqnarray*}$

また,

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} &=& F_{3n+3}\\ &=& F_{3n+2} + F_{3n+1}\\ &=& F_{3n+2} + F_{3n} + F_{3n-1}\\ &=& a_{n+1} + b_n+a_{n-1} \end{eqnarray*}$

これを解いて $\{a_n\}$ の漸化式を求めると,

$\begin{equation*} a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n \end{equation*}$

となるので, これをもとに $\{a_n\}$ の項を順に求めて足していくと,

a = 2
b = 8
c = a + 4*b
Sum = a+b
while c <= 4000000:
	Sum += c
	a = b
	b = c
	c = a + 4*b
print Sum

a = 2

b = 8

c = a + 4*b

Sum = a+b