三平方の定理(ピタゴラスの定理)

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この定理はおそらく平面図形に関する定理の中で, おそらくもっとも有名な定理です.

定理. (三平方, ピタゴラス)

直角三角形において, 直角を挟む2辺の長さを $a, b$ ,

残りの辺(斜辺)の長さを $c$ とするとき, 次の式が成り立つ.

$\begin{equation*} a^2+b^2=c^2 \end{equation*}$

斜辺の2乗は他の辺の2乗の和, と覚えやすいと思います.

有名な定理なので, 証明は100通り以上知られています. ここでは, その中でも分かりやすい証明を紹介します.

右図1. のように直角三角形4つを並べて, 大きな正方形をつくります.

図1.

全体の面積 $S$ を2通りに考えます.

まず, 正方形の一辺は $a+b$ なので, その面積は

$\begin{equation*} S = (a+b)^2 \end{equation*}$

一方, 真ん中の小さい四角形は正方形で, 一辺が $c$ , 周囲にある直角三角形の面積と足して,

$\begin{eqnarray*} S &=& c^2 + 4\times \drfac{1}{2}ab\\ &=& c^2+2ab \end{eqnarray*}$

よって,

$\begin{equation*} S = (a+b)^2 = c^2+2ab \end{equation*}$

より,

$\begin{eqnarray*} c^2 &=& (a+b)^2 - 2ab\\ &=& a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

このように簡単に証明できました.

図2.

また, 右の図2のように, 一辺が $c$ の正方形の中に直角三角形を4つ並べた図を考えると, 同様に,

$\begin{eqnarray*} c^2 &=& (b-a)^2 + 4\times\dfrac{1}{2}ab\\ &=& a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

と証明できます.