三平方の定理(ピタゴラスの定理)

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三平方の定理(ピタゴラスの定理)

この定理はおそらく平面図形に関する定理の中で, おそらくもっとも有名な定理です.

定理. (三平方, ピタゴラス)

直角三角形において, 直角を挟む2辺の長さを \(a, b\),

残りの辺(斜辺)の長さを \(c\) とするとき, 次の式が成り立つ.

\begin{align*}
a^2+b^2=c^2
\end{align*}

斜辺の2乗は他の辺の2乗の和, と覚えやすいと思います.

有名な定理なので, 証明は100通り以上知られています. ここでは, その中でも分かりやすい証明を紹介します.

証明.

右図1. のように直角三角形4つを並べて, 大きな正方形をつくります.

図1.

全体の面積 \(S\) を2通りに考えます.

まず, 正方形の一辺は \(a+b\) なので, その面積は

\begin{align*}
S = (a+b)^2
\end{align*}

一方, 真ん中の小さい四角形は正方形で, 一辺が \(c\), 周囲にある直角三角形の面積と足して,

\begin{align*}
S &= c^2 + 4\times \dfrac{1}{2}ab\\
&= c^2+2ab
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
S = (a+b)^2 = c^2+2ab
\end{align*}

より,

\begin{align*}
c^2 &= (a+b)^2 – 2ab\\
&= a^2+b^2
\end{align*}

このように簡単に証明できました.

図2.

また, 右の図2のように, 一辺が \(c\) の正方形の中に直角三角形を4つ並べた図を考えると, 同様に,

\begin{align*}
c^2 &= (b-a)^2 + 4\times\dfrac{1}{2}ab\\
&= a^2+b^2
\end{align*}

と証明できます.

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