自作問題27. (中間値の定理)

この記事の所要時間: 246

問題.

自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です.

問題. 

周期 \(\omega\) の連続な周期関数 \(f(x)\) について, 以下の条件\((\ast)\)を満たす実数 \(p\) が存在することを示せ.

\begin{align*}
(\ast)\left\{\begin{array}{ll}
0\leqq p < \frac{\omega}{2} \\
f(p) = f(p+\frac{\omega}{2})
\end{array} \right.
\end{align*}

\(f(x)\)が周期 \(\omega\) の周期関数であるとは, 任意の\(x\)について \(f(x)=f(x+\omega)\) が成り立つことである.

中間値の定理を使います.

中間値の定理

関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a, b]\) で連続で, \(f(a)\) と \(f(b)\) の間にある数 \(k\) について,

\begin{align*}
f(c) = k\quad (a<c<b)
\end{align*}

となる \(c\) が存在する.

解答例.

\begin{align*}
g(x)=f(x+\frac{\omega}{2})-f(x)
\end{align*}

とおくと,

\begin{align*}
g(x+\frac{\omega}{2})&= f(x+\omega)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\
&= f(x)-f(x+\frac{\omega}{2})\nonumber\\
&= -g(x)
\end{align*}

が成り立つ.

\(x=0\) のとき, \(g(0)=0\) であれば, \(p=0\) が条件(\(\ast\))を満たす.

\(g(0)\neq0\) であれば, (1)式より \(g(\frac{\omega}{2})=-g(0)\) であるから, \(g(0)\) と \(g(\frac{\omega}{2})\) は符号(正or負)が異なる. よって, 中間値の定理により, \(0<p<\frac{\omega}{2}\) で \(g(p)=0\) を満たす\(p\)が存在する.

追記.

この問題には, 元ネタとなる次のような問題があります.

Q. 地球の赤道上の温度の分布が連続であるとします. このとき, 赤道上の地点で, 地球のちょうど裏側と同じ温度の地点が存在することを示せ.

(この問題の出典が分かる方がいたら教えてください. )

赤道上の温度の分布を \(f(x)\) とおくと今回の問題になります.

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