三角形の存在条件

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三角形の存在条件

三角形の存在条件とは

三角形の存在条件とは, 3つの数 \(a, b, c\) が与えられたときに, 3辺の長さがそれぞれ \(a, b, c\) であるような三角形が存在するための条件です.

定理. 3辺の長さがそれぞれ \(a, b, c > 0\) である三角形が存在するための必要十分条件は,

\begin{align*}
|b-c| < a < b+c
\end{align*}

が成り立つことである.

もちろん, \(a, b, c\) を入れ替えた次の2つの不等式も等価な条件になります.

\begin{align*}
|c-a| &< b < c+a\\
|a-b| &< c < a+b
\end{align*}

特に, \(a > b > c > 0\) である場合は, 左側の不等式は明らかに成り立つので,

\begin{align*}
a < b+c
\end{align*}

(短い2辺の和が残りの辺より長い)

のみ確認すればいいです.

例.

1. \(3 + 4 > 6\)  であるから, 3辺の長さが \(3, 4, 6\) である三角形は存在する.

2. 3辺の長さが \(a^2-a, 2a, a-1\) の三角形が存在するための条件を求める.

まず, \(a^2-a, 2a, a-1\) がすべて正でないといけないので, \(a > 1\).

存在条件を使って,

\begin{align*}
|(a^2-a) – (a-1)| &< 2a < (a^2-a) + (a-1)\\
a^2-2a+1=|a^2-2a+1|&< 2a<a^2-1
\end{align*}

\(a^2-2a+1=(a-1)^2\geqq 0\) なので, 絶対値を外しました.

あとは, この不等式を解くと,

左側から, \(2-\sqrt{3}<a<2+\sqrt{3}\)

右側から, \(a < 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}<a\)

まとめると, \(a+\sqrt{2}<a<2+\sqrt{3}\) のとき三角形は存在します.

不等式を解くときに絶対値記号があるとややこしくなるので, 上のように絶対値を簡単に外せるように意識して定理の \(a, b, c\) にどの辺を当てはめるかを選ぶといいですね.

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