不等式の証明(自作問題18)

この記事の所要時間: 558

問題.

自作問題集の18番, 不等式の証明の問題です.

問題.

関数 \(f(x)\) はすべての整数 \(n\) に対し \(f(n)=2n-5\) を満たし, すべての実数 \(x\) に対して \(f^\prime(x)>0\) を満たす. 以下の問に答えよ.

(1) \(\displaystyle4x-8<\int_{x}^{x+2} f(t)\,dt<4x-4\)を示せ.

(2) \(\displaystyle5x-3<\int_{x}^{x+2} \{f(t)+f^{-1}(t)\}\,dt<5x+3\)を示せ. 但し\(f^{-1}(x)\)は\(f(x)\)の逆関数である.

整数 \(n\) に対して \(f(n)=2n-5\) となることを利用して, \(f(x)\) の値の範囲を考えていきます.

(2) では, \(f^{-1}(x)\) も単調増加となることを用いて(1)と同様の計算をします.

解答例.

(1)

実数 \(t\) に対して \([t]\) を \(t\) を超えない最大の整数を表すとすると, \([t]\leq t<[t]+1\).

(ガウス記号です!!)

\(f^\prime(x)>0\) より \(f(x)\) は単調増加関数なので,

\begin{align*}
f([t])\leq f(t)<f([t]+1)
\end{align*}

\([t]\) は整数なので, \(f([t])=2[t]-5,\,f([t]+1)=2([t]+1)-5=2[t]-3\) であるから,

\begin{align*}
2[t]-5\leq f(t)<2[t]-3
\end{align*}

\begin{align*}
\int_x^{x+2}\{2[t]-5\}dt<\int_x^{x+2} f(t)dt&< \int_x^{x+2} \{2[t]-3\}\,dt\\
\therefore 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-10<\int_x^{x+2} f(t)\,dt&< 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-6
\end{align*}

ここで, \(x<t<x+2\) の範囲で \(f(t)=2[t]-5\) は常には成り立たないので, 等号は成り立たないことを用いています. さらに,

\begin{align*}
\int_x^{x+2}[t]\,dt &= \int_x^{[x]+1} [t]\,dt + \int_{[x]+1}^{[x]+2}[t]\,dt + \int_{[x]+2}^{x+2} [t]\,dt\\
&= \int_x^{[x]+1} [x]\,dt + \int_{[x]+1}^{[x]+2}([x]+1)\,dt \\
&\quad+ \int_{[x]+2}^{x+2} ([x]+2)\,dt\\
&= ([x]+1-x)[x] + \{([x]+2)-([x]+1)\}([x]+1) \\
&\quad+ \{(x+2)-([x]+2)\}([x]+2)\\
&= 2x+1
\end{align*}

であるから, \(\displaystyle 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-10=4x-8\), \(\displaystyle 2\int_x^{x+2}[t]\,dt-6=4x-4\) となり,

\begin{align*}
4x-8<\int_x^{x+2}f(t)\,dt<4x-4
\end{align*}

(2)

\(p(t)\) は \(2p(t)-5\leq t<2\{p(t)+1\}-5=2p(t)-3\) を満たす整数を表すとします.

\begin{align*}
\{f^{-1}(x)\}^\prime=\dfrac{1}{f^\prime(x)}>0
\end{align*}

より, 逆関数 \(f^{-1}(x)\) も単調増加関数なので,

\begin{align*}
f^{-1}(2p(t)-5)\leq f^{-1}(t)<f^{-1}(2p(t)-3)
\end{align*}

任意の整数\(n\)に対して \(f^{-1}(2n-5)=n\) が成り立つので,

\begin{align*}
p(t)\leq f^{-1}(t)<p(t)+1
\end{align*}

\begin{align*}
\int_x^{x+2} p(t)\,dt<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<\int_x^{x+2}\{p(t)+1\}\,dt\\
\therefore \int_x^{x+2}p(t)\,dt<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<\int_x^{x+2}p(t)\,dt+2
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\int_x^{x+2} p(t)\,dt &= \int_x^{2p(x)-3}p(t)\,dt + \int_{2p(x)-3}^{x+2}p(t)\,dt\\
&= \int_x^{2p(x)-3}p(x)\,dt + \int_{2p(x)-3}^{x+2} \{p(x)+1\}\,dt\\
&= \{2p(x)-3-x\}p(x) \\
&\quad+ \{x+2-(2p(x)-3)\}\{p(x)+1\}\\
&= x+5
\end{align*}

であるから,

\begin{align*}
x+5<\int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,dt<x+7
\end{align*}

(1)の結果と足し合わせて,

\begin{align*}
5x-3<\int_x^{x+2}\{f(t)+f^{-1}(t)\}\,dt<5x+3
\end{align*}

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