京大2013年度第1問を相似だけで解く

この記事の所要時間: 335

問題.

平行四辺形 \(ABCD\) において, 辺 \(AB\) を \(1:1\) に内分する点を \(E\), 辺 \(BC\) を \(2:1\) に内分する点を \(F\)、辺 \(CD\) を \(3:1\) に内分する点を \(G\) とする. 線分 \(CE\) と線分 \(FG\) の交点を \(P\) とし, 線分 \(AP\) を延長した直線と辺 \(BC\) の交点を\(Q\)とするとき, 比 \(AP:PQ\) を求めよ.

以前別の記事で, この問題をベクトルを使って解く方法を紹介しました. (–> こちら)

今回は, 同じ問題を三角形の相似を使って解きたいと思います.

解答.

まず, 三角形の相似を使うために補助線を引いておきます.

\(CE\) を延長して直線 \(AD\) と交わる点を \(R\) ,

\(FG\) を延長して直線 \(AD\) と交わる点を \(S\) とおきます.

また, 説明が分かりやすくなるように, 辺 \(BC\) の長さを \(x\) とおいておきます.

はじめに, \(\triangle{PAR}\) と \(\triangle{PQC}\) が相似なので, 求めるべき比 \(AP:PQ\) は,

\begin{align*}
AP:PQ = RP:PC
\end{align*}

となります. さらに, \(\triangle{PRS}\) と \(\triangle{PCF}\) の相似に着目すると,

\begin{align*}
RP:CP = RS : CF
\end{align*}

となるので, \(RS:CF\) の比を求めればいいことが分かります.

ここからはとても簡単です.

\(BF:FC=2:1\) から,

\begin{align*}
CF=\dfrac{x}{3}
\end{align*}

はすぐに求まります.

\(RS\) の長さは, \(RA + AD + DS\) として考えます.

\(RA\) は, \(\triangle{RAE}\) と \(\triangle{CBE}\) が相似で, 相似比は \(AE:EB = 1:1\) なので,

\begin{align*}
RA = CB = x
\end{align*}

次に, \(AD\) は, 平行四辺形の対辺の長さは等しいので, \(BC\) に等しく

\begin{align*}
AD = x
\end{align*}

最後に, \(DS\) は \(\triangle{DSG}\) と \(\triangle{CFG}\) が相似で, その相似比は \(DG:CG = 1:3\) なので,

\begin{align*}
DS = \dfrac{1}{3}{CF} = \dfrac{x}{9}
\end{align*}

これらを足すと.

\begin{align*}
RS &= RA + AD + DS\\
&= x + x + \dfrac{x}{9}\\
&= \dfrac{19}{9}x
\end{align*}

したがって, 比は

\begin{align*}
RS : CF &= \dfrac{19}{9}x : \dfrac{x}{3}\\
&= 19:3
\end{align*}

なので, 答えは \(AP : PQ = 19 : 3\) となります.

どの三角形の相似を使うのかをいちいち書く手間はありますが, 考え方や計算はベクトルで解くよりも簡単でした.

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