京大2009年度[甲]第6問(積分・曲線の長さ)

この記事の所要時間: 53

問題.

極方程式

\[r = 1+\cos{\theta}\quad(0\leqq \theta\leqq\pi)\]

で表される曲線の長さを求めよ.

シンプルな問題文です.

極方程式で表される曲線の長さを求める問題は珍しいので,少し戸惑うかもしれませんが,\(xy-\) 直交座標での媒介変数表示された式に直せば,後は公式通りです.

公式. 

\(y = f(t),\,x = g(t),\,(a\leqq t\leqq b)\) で表される曲線の長さ \(L\) は,

\begin{align*}
L &= \int_a^b \sqrt{f^\prime(t)^2 + g^\prime(t)^2}\,dt\\
&= \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt
\end{align*}

解答例.

まず,極座標表示された曲線の式を, \(xy-\) 直交座標に直します.

\begin{align*}
x &= r\cos{\theta}\\
&= (1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\
y &= r\sin{\theta}\\
&= (1+\cos{\theta})\sin{\theta}
\end{align*}

それぞれを \(\theta\) で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{dx}{d\theta} &= -\sin{\theta}\cos{\theta} \\
&\quad+ (1+\cos{\theta})(-\sin{\theta})\\
&= -\sin{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}\\
&= -\sin{\theta}-\sin{2\theta}
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{dy}{d\theta} &= -\sin{\theta}\cdot\sin{\theta}\\
& \quad + (1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\
&= \cos{\theta}+\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\\
&= \cos{\theta}+\cos{2\theta}
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 &= (-\sin{\theta}-\sin{2\theta})^2 \\
& \quad +(\cos{\theta}+\cos{2\theta})^2\\
&= (\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\sin{2\theta}+\sin^2{2\theta})\\
& \quad + (\cos^2{\theta} + 2\cos{\theta}\cos{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\
&= (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}) + (\sin^2{2\theta}+\cos^2{2\theta})\\
& \quad +2(\sin{\theta}\sin{2\theta}+\cos{\theta}\cos{2\theta})\\
&= 1 + 1 + 2\cos(2\theta-\theta)\\
&= 2(1+\cos{\theta})\\
&= 4\cos^2{\frac{\theta}{2}}
\end{align*}

となるので,\(0\leqq\theta\leqq \pi\) のとき \(\cos{\frac{\theta}{2}}\geqq 0\) であることを用いて,曲線の長さは,

\begin{align*}
\int_0^\pi \sqrt{4\cos^2{\frac{\theta}{2}}}\,d\theta &= \int_0^\pi 2\cos{\frac{\theta}{2}}\,d\theta\\
&= \Big[4\sin{\frac{\theta}{2}}\Big]_0^\pi\\
&= 4
\end{align*}

追記. (極方程式の曲線の長さ)

一般に極方程式 \[r = f(\theta)\] の形で表される曲線について,上の解答例同様に,

\begin{align*}
x &= f(\theta)\cos{\theta}\\
y &= f(\theta)\sin{\theta}
\end{align*}

とおいて,\(\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2\) を計算すると,\[\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 = \{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2\]ときれいな形になるので,曲線の長さは \(a\leqq\theta\leqq b\) のとき \[L = \int_a^b \sqrt{\{f^\prime(\theta)\}^2 + \{f(\theta)\}^2}\,d\theta\] となります.

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