京大'17年度理系第3問(三角関数, 整数)

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問題.

$p, q$ を自然数, $\alpha, \beta$ を

$\begin{equation*} \tan{\alpha} = \dfrac{1}{p},\quad \tan{\beta} = \dfrac{1}{q} \end{equation*}$

を満たす実数とする. このとき

$\begin{equation*} \tan{(\alpha+2\beta)} = 2 \end{equation*}$

を満たす実数 $p, q$ の組 $(p, q)$ をすべて求めよ.

文系の問題では, 同じ問題が誘導付きで出ていました.

まずは $\tan$ の加法定理を使って, 条件を $p, q$ の式に変形します.

その後の解き方はいろいろあると思います.

私は $p$ の値で場合分けしましたが, 文系の問題の誘導では $q$ の値で場合分けしていました.

一応, 自分のやり方と, 文系の誘導による解き方を載せておきます.

解答例.

$\tan\alpha=\dfrac{1}{p}, \tan\beta=\dfrac{1}{q}$ なので,

$\begin{eqnarray*} \tan2\beta &=& \dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\ &=& \dfrac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}\\ &=& \dfrac{2q}{q^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+2\beta) &=& \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}\\ &=& \dfrac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{1}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}}\\ &=& \dfrac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q} \end{eqnarray*}$

よって, 条件は

$\begin{eqnarray*} & & \tan(\alpha+2\beta) = 2\\ &\Leftrightarrow& q^2+2pq-1 = 2(pq^2-p-2q)\\ &\Leftrightarrow& 2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1 \end{eqnarray*}$