問題.
\(p, q\) を自然数, \(\alpha, \beta\) を
\begin{align*}
\tan{\alpha} = \dfrac{1}{p},\quad \tan{\beta} = \dfrac{1}{q}
\end{align*}
を満たす実数とする. このとき
\begin{align*}
\tan{(\alpha+2\beta)} = 2
\end{align*}
を満たす実数 \(p, q\) の組 \((p, q)\) をすべて求めよ.
文系の問題では, 同じ問題が誘導付きで出ていました.
まずは \(\tan\) の加法定理を使って, 条件を \(p, q\) の式に変形します.
その後の解き方はいろいろあると思います.
私は \(p\) の値で場合分けしましたが, 文系の問題の誘導では \(q\) の値で場合分けしていました.
一応, 自分のやり方と, 文系の誘導による解き方を載せておきます.
解答例.
\(\tan\alpha=\dfrac{1}{p}, \tan\beta=\dfrac{1}{q}\) なので,
\begin{align*}
\tan2\beta &= \dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\
&= \dfrac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}\\
&= \dfrac{2q}{q^2-1}
\end{align*}
\begin{align*}
\tan(\alpha+2\beta) &= \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}\\
&= \dfrac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{1}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}}\\
&= \dfrac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q}
\end{align*}
よって, 条件は
\begin{align*}
& & \tan(\alpha+2\beta) = 2\\
&\Leftrightarrow& q^2+2pq-1 = 2(pq^2-p-2q)\\
&\Leftrightarrow& 2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1
\end{align*}
(i) \(p = 1\) のとき, 条件は \(q^2-6q-1 = 0\) となり, 整数 \(q\) でこれをみたすものはない.
(ii) \(p = 2\) のとき, 条件は \(3q^2-8q-3 = (3q+1)(q-3) = 0\) となり, 自然数の解 \(q=3\) が存在する. よって, \((p, q) = (2, 3)\) は条件を満たす.
(iii) \(p\geqq 3\) のとき, 条件式から
\begin{align*}
q^2+4q-1 &= 2(q^2-q-1)p\\
&\geqq 6(q^2-q-1)
\end{align*}
変形して \(q\) について解くと,
\begin{align*}
5q^2-10q-5\leqq 0\\
1-\sqrt{2}\leqq q\leqq1+\sqrt{2}
\end{align*}
この不等式を満たす \(q\) は \(q = 1, 2\) のみですが, \(q = 1, 2\) に対しては条件を満たす自然数 \(p\) が存在しません.
以上より, 条件を満たす組は \((p, q)=(2, 3)\) のみになります.
次に, \(p\) で場合分けしていく方法で解きます.
条件を変形して
\begin{align*}
2(q^2-q-1)p = q^2+4q-1
\end{align*}
となるところまでは同じです.
(i) \(q = 1\) のときは, 条件は \(-2p=4\) より \(p = -2\) (自然数でない)ので解なしです.
(ii) \(q=2\) のときは, 条件は \(2p=11\) より \(p = frac{11}{2}\) (自然数でない)ので解なしです.
(iii) \(q=3\) のときは, 条件は \(10p=20\) より \(p = 2\) となり, \((p, q)=(2, 3)\) は解になります.
(iv) \(q>3\) のとき
\begin{align*}
2\times 2(q^2-q-1) – (q^2+4q-1) &= 3q^2-8q-3\\
&= (3q+1)(q-3)\\
&> 0
\end{align*}
より,
\begin{align*}
p &= \dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\\
&< 2
\end{align*}
ところが, \(p = 1\) のときは条件は \(q^2-6q-1=0\) より自然数解 \(p\) は存在しない.
以上より, \((p, q) = (2, 3)\) のみになります.
