隣接3項間の漸化式の一般項

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隣接3交換の漸化式の一般項

漸化式から数列の一般項を求める問題でよく出てくるのが, 3項間の漸化式

\begin{align*}
a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0
\end{align*}

の形のものです.

今回は, 一般の \(p, q\) に対して一般項 \(a_n\) を求めてみます.

先に結果から…

初項 \(a_1\), 第 2 項 \(a_2\), \(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0\) を満たす数列 \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) の一般項は,

2 次方程式 (特性方程式)

\begin{align*}
x^2+px+q=0
\end{align*}

[1] 重解 \(\alpha\) をもつとき (\(\alpha\neq0\))

\begin{align*}
a_n &= (2-n)\alpha^{n-1}a_1+(n-1)\alpha^{n-2}a_2\\
&= \alpha^{n-2}\{(a_2-\alpha a_1)n+(2\alpha a_1-a_2)\}
\end{align*}

(\(\alpha=0\) の場合は \(a_n=0\quad(n\geqq 3)\))

[2] 異なる 2 解 \(\alpha, \beta\) をもつとき

\begin{align*}
a_n = \frac{1}{\alpha-\beta}\{(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}-(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-2}\}
\end{align*}

ちなみに, [2] の場合の式で \(\beta\to\alpha\) の極限をとると, [1] の式になります.

導出.

[1] \((\alpha\neq 0)\) のとき

\(2\alpha=-p, \alpha^2=q\) (解と係数の関係から) を使って,

\begin{align*}
a_{n+2}-\alpha a_{n+2} = a_{n+1}-\alpha a_n
\end{align*}

と変形でき,

数列 \(\{a_{n+1}-\alpha a_n\}\) は初項 \(a_2-\alpha a_1\), 公比 \(\alpha\) の等比数列なので,

\begin{align*}
a_{n+1}-\alpha a_n = (a_2-\alpha a_1)\alpha^{n-1}
\end{align*}

両辺を \(\alpha^{n+1}\) で割ると,

\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} -\frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{a_2-\alpha a_1}{\alpha^2}
\end{align*}

数列 \(\{\frac{a_n}{\alpha^n}\}\) は初項 \(\frac{a_1}{\alpha}\), 公差 \(\frac{a_2-\alpha a_1}{\alpha^2}\) の等差数列になるので,

\begin{align*}
\frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{a_1}{\alpha}+(n-1)\frac{a_2-\alpha a_1}{\alpha^2}
\end{align*}

最後に両辺に \(\alpha^n\) を掛ければ \(a_n\) が求まります.

[2] のとき

(1)漸化式は

\begin{align*}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1}-\alpha a_n)
\end{align*}

と変形できるので, \(\{a_{n+1}-\alpha a_n\}\) は初項 \(a_2-\alpha a_1\), 公比 \(\beta\) の等比数列で,

\begin{align*}
a_{n+1}-\alpha a_n = (a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}
\end{align*}

(2)同様に,

\begin{align*}
a_{n+2}-\beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1}-\beta a_n)
\end{align*}

と変形することで,

\begin{align*}
a_{n+1}-\beta a_n = (a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}
\end{align*}

(1) で出た式と辺々引くことで,

\begin{align*}
-(\alpha-\beta)a_n &= (a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}-(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}\\
\therefore a_n &= \frac{(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}-(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}
\end{align*}

この導出の方法は, 具体的な漸化式を解く場合も同じ方法を使うので覚えておきましょう.

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