2×2 正方行列の n 乗-Vol.2

この記事の所要時間: 719

2行2列 正方行列の n 乗

前の記事 『2×2 正方行列の n 乗-Vol.1』の続きとして,

2行2列の行列

\(A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)\)

の \(n\) 乗の導出法(2つ目)を紹介します.

まずは結果から

前回書いた通りですが, もう一度書いておきます.

\(\displaystyle A = \left(\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right)\) について,

2 次方程式

\(x^2-(\mathrm{tr} A)x+(\mathrm{det} A)=0\)

について

[1] 重解 \(\alpha\) をもつとき

\begin{align*}
A^n = \left(\begin{array}{cc}(na-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1} & nb\alpha^{n-1}\\ nc\alpha^{n-1} & (nd-n\alpha+\alpha)\alpha^{n-1}\end{array}\right)
\end{align*}

(\(\alpha=0\) かつ \(n=1\) については成り立つとは限らない)

[2] 異なる 2 解 \(\alpha, \beta\) をもつとき

\begin{align*}
A^n = \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\begin{array}{cc}(a-\beta)\alpha^{n-1}-(a-\alpha)\beta^{n-1} & b\alpha^n-b\beta^n\\ c\alpha^n-c\beta^n & (d-\beta)\alpha^{n-1}-(d-\alpha)\beta^{n-1}\end{array}\right)
\end{align*}

証明 2.

ここでもケーリー・ハミルトンの定理を使います.

\begin{align*}
A^2 – (\mathrm{tr}A)A + (\mathrm{det}A)E = O
\end{align*}

ここで, \(E\) は単位行列, \(O\) は零行列です.

いきなり場合分けしていきます.

2 次方程式 \(x^2-(\mathrm{tr}A)x+(\mathrm{det})=0\) の解について,

[1] 重解 \(\alpha\,(\neq 0)\) をもつとき

解と係数の関係から,

\begin{align*}
\left\{\begin{array} 2\alpha = \mathrm{tr}A\\
\alpha^2 = \mathrm{det}A \end{array}\right.
\end{align*}

なので, ケーリー・ハミルトンの定理は次のように書けます.

\begin{align*}
A^2-2\alpha A+\alpha^2E=0
\end{align*}

移項すると

\begin{align*}
A^2-\alpha A &= \alpha A-\alpha^2E\\
\therefore A(A-\alpha E) &= \alpha(A-\alpha E)
\end{align*}

これを利用すると,

\begin{align*}
A^n(A-\alpha E) &= A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\
&= A^{n-1}\cdot \alpha(A-\alpha E)\\
&= \alpha A^{n-1}(A-\alpha E)\\
&= \alpha^2 A^{n-2}(A-\alpha E)\\
&= \vdots\\
&= \alpha^n(A-\alpha E)
\end{align*}

\begin{align*}
A^{n+1}-\alpha A^n = \alpha^n A-\alpha^{n+1}A
\end{align*}

両辺を \(\alpha^{n+1}\) で割って, 添え字を \(n\) から \(k\) に書き換えて,

\begin{align*}
\frac{A^{k+1}}{\alpha^{k+1}}-\frac{A^k}{\alpha^k} &= \frac{A}{\alpha}-E
\end{align*}

\(k=1, 2, \ldots, n-1\) について両辺それぞれ和をとると,

\begin{align*}
\frac{A^n}{\alpha^n}-\frac{A}{\alpha}=(n-1)\left(\frac{A}{\alpha}-E\right)
\end{align*}

両辺に \(\alpha^n\) を掛けて, 移項すると

\begin{align*}
A^n = n\alpha^{n-1}A-(n-1)\alpha^nE
\end{align*}

[2] 異なる 2 つの解 \(\alpha, \beta\) をもつとき

解と係数の関係から,

\begin{align*}
\left\{\begin{array} {c}\alpha+\beta = \mathrm{tr}A\\ \alpha\beta = \mathrm{det}A\end{array}\right.
\end{align*}

ケーリー・ハミルトンの定理は,

\begin{align*}
A^2-(\alpha+\beta)A+\alpha\beta E=O
\end{align*}

と書け, 一部を移項して,

\begin{align*}
A^2-\alpha A &= \beta A-\alpha\beta E\\
A(A-\alpha E) &= \beta(A-\alpha E)
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
A^n(A-\alpha E) &= A^{n-1}\cdot A(A-\alpha E)\\
&= A^{n-1}\cdot \beta(A-\alpha E)\\
&= \beta A^{n-1}(A-\alpha E)\\
&= \beta^2A^{n-2}(A-\alpha E)\\
&= \vdots\\
&= \beta^n(A-\alpha E)
\end{align*}

\begin{align*}
\therefore A^{n+1}-\alpha A^n = \beta^n A-\alpha\beta^nE
\end{align*}

同様に, \(\alpha\) と \(\beta\) を入れ替えた式も成り立ち,

\begin{align*}
\therefore A^{n+1} – \beta A^n = \alpha^n A – \alpha^n\beta E
\end{align*}

上の式と辺々引くことで,

\begin{align*}
-(\alpha-\beta)A^n &= (\beta^n-\alpha^n)A – (\alpha\beta^n-\alpha^n\beta)E\\
\therefore A^n &= \frac{1}{\alpha-\beta}\{(\alpha^n-\beta^n)A-(\alpha^n\beta-\alpha\beta^n)E\}
\end{align*}

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