ラグランジュ(Lagrange) の四平方定理
以前，三平方の定理の拡張である四平方の定理を紹介しました．(–>四平方定理)
ラグランジュの四平方定理は，定理の名前は同じですが，全く違う内容の定理です．
定理.
全ての自然数は，高々 4 個の平方数の和で表される．
つまり, 任意の自然数 \(n\) に対して,
\[n = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\]
を満たす整数 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) の組が存在する．
“高々” 4 個の平方数の和なので，2 個, 3 個の平方数の和でもいいですし，それ自身が平方数でも構わないです．4 個よりも少ない平方数の和で表せる場合は，\(0^2=0\) を加えれば，4 つの平方の和の形にできます．
例を見てみましょう.
\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2\\
3 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
4 &= 1^2+1^2+1^2+1^2\\
&= 2^2+0^2+0^2+0^2\\
5 &= 2^2+1^2+0^2+0^2\\
7 &= 2^2+1^2+1^2+1^2\\
15 &= 3^2+2^2+1^1+1^1
\end{align*}
7 や 15 は，3 個以下の平方の和では表せません．
また，4 のように，表し方が複数あるものもあります．
自然数 \(n\) を高々 4 個の平方数の和として表す方法は，ヤコビの四平方定理
\[r(n) = 8\sum_{4\not\mid \,\,d\mid n}d\]
で与えられます．
この式の和の部分は，\(n\) の約数のうち，4 の倍数でないものの和をとっています．
例えば，\(n=4\) のとき，\(r(4)=8(1+2)=24\) となります．
実は，この定理では 4 つの数の順番や，正負を変えたものも異なる表し方として数えています．
なので，\(4=2^2+0^2+0^2+0^2\) に対して，
\begin{align*}
4 &= 2^2+0^2+0^2+0^2 &= (-2)^2+0^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+2^2+0^2+0^2 &= 0^2+(-2)^2+0^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+2^2+0^2 &= 0^2+0^2+(-2)^2+0^2\\
&= 0^2+0^2+0^2+2^2 &= 0^2+0^2+0^2+(-2)^2
\end{align*}
の 8 通りがあります．
\(4=1^2+1^2+1^2+1^2\) に対しても 4 つのそれぞれに 1 or -1 の 2 通りあるので, \(2^4 = 16\) 通りの表し方が対応します．
ラグランジュの四平方定理の証明.
まず，4 つの平方数の和で表された数同士の積もまた 4 つの平方数の和で表される，という補題を用意しておきます．
補題1.
\begin{align*}
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2) &= (x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2 \\
&\quad +(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2-x_2y_4)^2\\
&\quad + (x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2)^2
\end{align*}
これは展開すれば確かめられます．
では，ここから証明に入っていきます．
\(n=1, 2\) のときは，上にも示した通り，
\begin{align*}
1 &= 1^2+0^2+0^2+0^2\\
2 &= 1^2+1^2+0^2+0^2
\end{align*}
なので，定理は成り立ちます．
あとは，\(n\) が奇素数(奇数かつ素数)の場合を示すことができれば，全ての自然数についても成り立つことが (補題1. ) からいえます．
そこで，以下では \(n\) が奇素数の場合を証明します．
素数であることが分かりやすいように，\(n=p\) とおきます．
\(p\) は奇数で 3 以上なので, \(\dfrac{1}{2}(p-1)\) は自然数です．そこで，
\begin{align*}
S &= \{x^2\mid x\in\mathbb{Z}, 0\leqq x\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}\\
T &= \{-1-y^2\mid y\in\mathbb{Z}, 0\leqq y\leqq\frac{1}{2}(p-1)\}
\end{align*}
という集合 \(S, T\) を考えます．ここで，\(\mathbb{Z}\) は整数全体の集合を表しています．
このとき, \(x^2\geqq 0, -1-y^2<0\) より, \(S\cap T=\emptyset\) なので，
\begin{align*}
\#(S\cap T) = 0
\end{align*}
(\(S\cap T\) の要素数がゼロ).
ここで，
\(S\) の任意の 2 つの要素 \(k^2, l^2\) , (\(k\neq l\)) について
\[k^2\not\equiv l^2\pmod{p}.\]
\(T\) の任意の 2 つの要素 \(-1-k^2, -1-l^2\) , (\(k\neq l\)) について
\[-1-k^2\not\equiv -1-l^2\pmod{p}.\]
が成り立ちます． これは背理法で簡単に示せるので，今回は省略します．
さて,
\begin{align*}
\#(S\cup T) &= \#S+\#T\\
&= \frac{1}{2}(p+1)+\frac{1}{2}(p+1)\\
&= p+1
\end{align*}
なので，鳩ノ巣原理より，\(p\) を法として合同であるような，\(S\) の要素と \(T\) の要素の組が少なくとも 1 つ存在します．
それらの要素を，\(X^2\in S, -1-Y^2\in T\) とすると，
\begin{align*}
X^2&\equiv -1-Y^2\pmod{p}\\
\therefore X^2+Y^2+1^2+0^2&\equiv 0
\end{align*}
よって，\[X^2+Y^2+1^2+0^2=mp\] となる整数 \(m\) が存在します．
この \(m\) が \(m=1\) であれば，この時点で証明できたことになります．
そこで，\(m>1\) の場合を考えます．
\(X_1=X, X_2=Y, X_3=1, X_4=0\) とおいて，
\begin{align*}
-\frac{1}{2}k<Y_i\leqq\frac{1}{2}k,\quad X_i\equiv Y_i\pmod{k}\quad(i=1, 2, 3, 4)
\end{align*}
として \(Y_1, Y_2, Y_3, Y_4\) を定めると，
\begin{align*}
Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2&\equiv X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
&\equiv kp\\
&\equiv 0\pmod{k}
\end{align*}
よって，\(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2=k^\prime k\) となる自然数 \(k^\prime\) が存在します．
\(-\frac{1}{2}k<Y_i\leqq\frac{1}{2}k\) より，\(Y_i^2\leqq \frac{1}{4}k^2\) なので,
\(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2\leqq 4\cdot\frac{1}{4}k^2=k^2\)
より，\(k^\prime\leqq k\) となっています．
ここで, \(k=k^\prime\) とすると矛盾が生じることを示していきます．
・\(k \neq k^\prime\) を示す．
各 \(X_i\) について \(X_i^2\leqq \{\frac{1}{2}(p-1)\}^2\) なので，
\begin{align*}
X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2 &\leqq (p-1)^2\\
\therefore kp&< p^2
\end{align*}
両辺 \(p\) で割ると，\(k<p\).
よって，(\(p\) は素数なので) \(k\) と \(p\) は互いに素となり，\(kp\) は \(k^2\) では割り切れない．
一方，\(k^\prime=k\) となるのは，
\[Y_1=Y_2=Y_3=Y_4=\frac{1}{2}k\]
のときで，このとき \(X_i\equiv Y_i\pmod{k}\) であることも考慮すると，
\(kp=X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\) は \(k^2\) の倍数となります．
これは上の事実に矛盾します．
以上より，\(k^\prime\neq k\) がいえたので，\[0<k^\prime<k. \]
ここで，2 式
\begin{align*}
kp &= X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\\
k^\prime k &= Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2+Y_4^2
\end{align*}
の積を考えると，(補題1.) により，
\begin{align*}
k^2k^\prime p = A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2
\end{align*}
となる整数 \(A_1, A_2, A_3, A_4\) が存在します．
\(X_i\equiv Y_i\pmod{k}\quad(i=1, 2, 3, 4)\) を使うと，
\[A_i\equiv 0\pmod{k}(i=1, 2, 3, 4)\]
となります．
よって，\(A_i=kB_i\) となる整数 \(B_1, B_2, B_3, B_4\) があって，上の式に代入して両辺を \(k^2\) で割ると
\[k^\prime p = B_1^2+B_2^2+B_3^2+B_4^2\]
となります．
この時点で \(k^\prime =1\) であれば \(p\) が 4 つの平方数の和で表されたことになりますし，\(k^\prime>1\) であれば，\(k^\prime, B_1, B_2, B_3, B_4\) を新しく \(k, X_1, X_2, X_3, X_4\) と見做して同じ変形をくり返せば，いずれ \(k^\prime=1\) となります．
