シムソンの定理の簡単な証明

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シムソンの定理(ウォーレスの定理)の簡単な証明

以前の記事でシムソンの定理の極座標による証明を書きましたが, 実は簡単な幾何による証明が可能なので, 紹介します.

シムソンの定理とは

シムソンの定理の内容を改めて説明します.

定理.

三角形 \(ABC\) の外接円の円周上に,3 点 \(A, B, C\) とは異なる点 \(O\) をとる.

点 \(O\) から 3 直線 \(AB, BC, CA\) に下ろした垂線の足をそれぞれ \(P, Q, R\) とすると,3 点 \(P, Q, R\) は同一直線上にある.

このとき直線 \(PQR\) をシムソン線といいます.

前回の記事では直線 \(PQ\) と直線 \(QR\) の方程式を求めて一致することを示しました.

今回は \(\angle{PQR} = 180^\circ\) となることを示していきます.

簡単な幾何による証明

\(\angle{BQP}=\theta\) とおきます.

\(\angle{OQB}=\angle{OPB}=90^\circ\) なので,

4 点 \(O, Q, B, P\) は線分 \(OB\) を直径とする円周上にある.

よって \(\angle{BOP}=\angle{BQP}=\theta\) なので,\(\triangle{OBP}\) の内角について,

\begin{align*}
\angle{OBP} &= 180^\circ-90^\circ-\theta\\
&= 90^\circ-\theta.
\end{align*}

一方,4 点 \(O, B, A, C\) は同一円周上にあるから,

\begin{align*}
\angle{OCA} &= \angle{OBP}\\
&= 90^\circ-\theta.
\end{align*}

また,\(\angle{OQC}=\angle{ORC}=90^\circ\) より,4 点 \(O, Q, R, C\) も同一円周上にあって,

\begin{align*}
\angle{OQR} &= 180^\circ – \angle{OCR}\\
&= 180^\circ – (90^\circ – \theta)\\
&= 90^\circ+\theta.
\end{align*}

よって,\(\angle{PQR}\) は,

\begin{align*}
\angle{PQR} &= \angle{PQO} + \angle{OQR}\\
&= (90^\circ – \theta) + (90^\circ+\theta)\\
&= 180^\circ.
\end{align*}

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