複素数の極形式表示

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複素数の極形式表示

この記事では, 複素数の表し方の極形式を紹介します.

これまでは複素数 \(z\) は

\begin{align*}
z = a + bi
\end{align*}

(\(a, b\) は実数)

と表していました.

極形式では,三角関数 \(\sin\theta, \cos\theta\) を使って,複素数を表現します.

極形式

複素数 \(z\) を

\begin{align*}
z = r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}

(\(0\leqq\theta<2\pi\), \(r\geqq0\))

と表すとき,極形式といいます.

このとき,\(\theta\) を \(z\) の偏角といい,\(\theta = \arg{z}\) と表します.

\(r\) は \(z\) の絶対値で,\(r = |z|\) と表します.

\(z=a+bi\) を極形式に直すと,

\begin{align*}
z &= a+bi\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1
\end{align*}

なので,

\begin{align*}
\cos\theta &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin\theta &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}

となる \(\theta\) が存在します.

極形式の利点

複素数を極形式で表すと次のような利点があります.

\begin{align*}
z_1 &= r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\
z_2 &= r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\end{align*}

(\(r_1, r_2\geqq 0\))

のとき.

・\(|z_1| = r_1\)

・\(z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\)

・\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\)

・(ド・モアブル)

\(z_1^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)

などが成り立ちます.

このように,積や商の計算が簡単になります.

これらは三角関数の加法定理を使って簡単に示すことができます.

また,Euler (オイラー) の公式として知られる式

\begin{align*}
\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}
\end{align*}

を使えば,

\(z_1=r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2}\) と書けて,

\begin{align*}
z_1z_2 &= r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}\\
&= r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\
&= r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}
\end{align*}

のように計算することもできます.

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