複素数の極形式表示
この記事では, 複素数の表し方の極形式を紹介します.
これまでは複素数 \(z\) は
\begin{align*}
z = a + bi
\end{align*}
(\(a, b\) は実数)
と表していました．
極形式では，三角関数 \(\sin\theta, \cos\theta\) を使って，複素数を表現します．
極形式
複素数 \(z\) を
\begin{align*}
z = r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}
(\(0\leqq\theta<2\pi\), \(r\geqq0\))
と表すとき，極形式といいます．
このとき，\(\theta\) を \(z\) の偏角といい，\(\theta = \arg{z}\) と表します．
\(r\) は \(z\) の絶対値で，\(r = |z|\) と表します．
\(z=a+bi\) を極形式に直すと，
\begin{align*}
z &= a+bi\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)
\end{align*}
ここで，
\begin{align*}
\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1
\end{align*}
なので，
\begin{align*}
\cos\theta &= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin\theta &= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
となる \(\theta\) が存在します．
極形式の利点
複素数を極形式で表すと次のような利点があります．
\begin{align*}
z_1 &= r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\
z_2 &= r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\end{align*}
(\(r_1, r_2\geqq 0\))
のとき．
・\(|z_1| = r_1\)
・\(z_1z_2 = r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\)
・\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\)
・(ド・モアブル)
\(z_1^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)
などが成り立ちます．
このように，積や商の計算が簡単になります．
これらは三角関数の加法定理を使って簡単に示すことができます．
また，Euler (オイラー) の公式として知られる式
\begin{align*}
\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}
\end{align*}
を使えば，
\(z_1=r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2}\) と書けて，
\begin{align*}
z_1z_2 &= r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}\\
&= r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\
&= r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}
\end{align*}
のように計算することもできます.
