相反方程式の応用問題(自作)

この記事の所要時間: 914

以前に相反方程式の応用問題(自作問題)の記事を書きましたが, 今回は相反方程式の自作問題 Part2 です. 相反方程式の形が繰り返し出てくる問題を作れないか, というアイデアから作った問題です.

問題. 

12 次方程式

\begin{align*}
3x^{12}+20x^{11}-21x^{10}-140x^9+54x^8+340x^7
\end{align*}

\begin{align*}
-69x^6-340x^5+54x^4+140x^3-21x^2-20x+3=0
\end{align*}

の解をすべて求めよ. (すべて実数解です. )

解答例.

まず, 相反方程式の応用問題(自作問題) のときと同様に,

\begin{align*}
t = x – \frac{1}{x}
\end{align*}

とおくことを考えます.

元の 12 次方程式は \(x=0\) を解には持たないので, \(x^6\) で割って項をまとめると,

\begin{align*}
3\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)+20\left(x^5-\frac{1}{x^5}\right)-21\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)
\end{align*}

\begin{align*}
-140\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)+54\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+340\left(x-\frac{1}{x}\right)-69=0
\end{align*}

少し大変ですが, \(t = x – \dfrac{1}{x}\) とおくと,

\begin{align*}
x^2+\frac{1}{x^2} &= \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\\
&= t^2+2
\end{align*}

\begin{align*}
x^3-\frac{1}{x^3} &= \left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\frac{1}{x}\right)\\
&= t^3+3t
\end{align*}

\begin{align*}
x^4+\frac{1}{x^4} &= \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2\\
&= (t^2+2)^2-2\\
&= t^4+4t^2+2
\end{align*}

\begin{align*}
x^5-\frac{1}{x^5} &= \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)-\left(x-\frac{1}{x}\right)\\
&= (t^2+2)(t^3+3t)-t\\
&= t^5+5t^3+5t
\end{align*}

\begin{align*}
x^6+\frac{1}{x^6} &= \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)^2+2\\
&= (t^3+3t)^2+2\\
&= t^6+6t^4+9t^2+2
\end{align*}

となるので, 代入すると

\begin{align*}
3(t^6+6t^4+9t^2+2)+20(t^5+5t^3+5t)\\
-21(t^4+4t^2+2)-140(t^3+3t)\\
+54(t^2+2)+340t-69 = 0
\end{align*}

整理すると,

\begin{align*}
3t^6+20t^5-3t^4-40t^3-3t^2+20t+3=0
\end{align*}

となり, 再び相反方程式になっています.

\(t=0\) は解ではないので, \(t^3\) で割って,

\begin{align*}
3\left(t^3+\frac{1}{t^3}\right)+20\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)\\
-3\left(t+\frac{1}{t}\right)-40=0
\end{align*}

今度は \(s = t + \dfrac{1}{t}\) とおきます.

\begin{align*}
t^2+\frac{1}{t^2} &= \left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2\\
&= s^2-2
\end{align*}

\begin{align*}
t^3+\frac{1}{t^3} &= \left(t+\frac{1}{t}\right)^3-3\left(t + \frac{1}{t}\right)\\
&= s^3-3s
\end{align*}

なので, 代入して

\begin{align*}
3(s^3-3s)+20(s^2-2)-3s-40=0
\end{align*}

整理すると,

\begin{align*}
3s^3+20s^2-12s-80=0
\end{align*}

左辺は因数分解出来て,

\begin{align*}
(s+2)(s-2)(3s+20) = 0
\end{align*}

となるので, \(s = -2, 2, -\dfrac{20}{3}\) となります.

あとは \(t\), \(x\) を順に計算していくだけです.

\(s = t + \dfrac{1}{t}\) より, \(t^2-st+1=0\) なので, 解の公式を使うと

\begin{align*}
t = \dfrac{s\pm\sqrt{s^2-4}}{2}
\end{align*}

\(s=-2, 2, -\dfrac{20}{3}\) を代入して計算すれば,

\begin{align*}
t = -1, 1, \frac{-10\pm\sqrt{91}}{3}
\end{align*}

では, それぞれの場合の \(x\) の値を求めていきます.

・\(t = -1\) のとき

\(x-\dfrac{1}{x}=-1\) より \(x^2+x-1=0\) なので, 解の公式を使って

\(x = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.\)

・\(t = 1\) のとき

\(x-\dfrac{1}{x}=1\) より \(x^2-x-1=0\) なので, 解の公式を使って

\(x = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}.\)

ここまでに出た 4 つの解はそれぞれ 2 重解になっています.

・最後に, \(t = \dfrac{-10\pm\sqrt{91}}{3}\) のとき

\(x-\dfrac{1}{x}=t\) より \(x^2-tx-1=0\) なので, 解の公式を使うと

\begin{align*}
x = \dfrac{t\pm\sqrt{t^2+4}}{2}.
\end{align*}

\(t = \dfrac{-10\pm\sqrt{91}}{3}\) のとき, \(t^2+4\) を計算すると,

\begin{align*}
t^2+4 &= \left(\frac{-10\pm\sqrt{91}}{3}\right)^2+4\\
&= \frac{100\mp20\sqrt{91}+91}{9}+4\\
&= \frac{1}{9}(227\mp2\sqrt{9100})\\
&= \frac{1}{9}(52+175\mp2\sqrt{52\cdot 175})\\
&= \left(\frac{\sqrt{175}\mp\sqrt{52}}{3}\right)^2\\
&= \left(\frac{5\sqrt{7}\mp2\sqrt{13}}{3}\right)^2
\end{align*}

となるので,
\begin{align*}
x = \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{-10\pm\sqrt{91}}{3}\right)\pm\left(\frac{5\sqrt{7}\mp2\sqrt{13}}{3}\right)\right\}
\end{align*}

左右のカッコ内の複号は同順であることに注意すると,

\begin{align*}
x &= \frac{1}{6}(-10+\sqrt{91}+5\sqrt{7}-2\sqrt{13}), \\
&\quad \frac{1}{6}(-10+\sqrt{91}-5\sqrt{7}+2\sqrt{13}), \\
&\quad \frac{1}{6}(-10-\sqrt{91}+5\sqrt{7}+2\sqrt{13}), \\
&\quad \frac{1}{6}(-10-\sqrt{91}-5\sqrt{7}+2\sqrt{13})\\
&= \frac{1}{6}(\sqrt{7}-2)(5\pm\sqrt{13}), \frac{1}{6}(\sqrt{7}+2)(-5\pm\sqrt{13})
\end{align*}

以上をすべてまとめると, 元の 12 次方程式の解は

\begin{align*}
x &= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}, \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}, \\
&\quad\frac{1}{6}(\sqrt{7}-2)(5\pm\sqrt{13}), \frac{1}{6}(\sqrt{7}+2)(-5\pm\sqrt{13})
\end{align*}

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