神大2017年度理科系 第3問

この記事の所要時間: 354

問題. 

\(n\) を自然数とする. \(A_n=2^n+n^2\), \(B_n=3^n+n^3\) とおく. \(A_n\) を 3 で割った余りを \(a_n\) とし, \(B_n\) を 4 で割った余りを \(b_n\) とする. 以下の問に答えよ.

(1) \(A_{n+6}-A_n\) は 3 で割り切れることを示せ.

(2) \(1\leqq n\leqq 2018\) かつ \(a_n=1\) を満たす \(n\) の個数を求めよ.

(3) \(1\leqq n\leqq 2018\) かつ \(b_n=2\) を満たす \(n\) の個数を求めよ.

自然数の割った余りに関する問題です.

(1), (2) の問題の流れを参考にして (3) を解きます.

解答例.

(1) 実際に \(A_{n+6}-A_n\) を計算します.

\begin{align*}
A_{n+6}-A_n &= \{2^{n+6}+(n+6)^2\}-\{2^n+n^2\}\\
&= 2^n(2^6-1)+12n+36\\
&= 3\{2^n\times 21+4n+12\}
\end{align*}

\(2^n\times 21+4n+12\) は自然数なので, \(A_{n+6}-A_n\) は 3 で割り切れる.

(2) (1) の結果から, すべての自然数 \(n\) に対して, \(a_n=a_{n+6}\) であることがわかる.

\(n=1, 2, 3, 4, 5, 6\) の場合を実際に計算すると,

\begin{align*}
A_1 &= 2^1+1^2 = 3\\
A_2 &= 2^2+2^2 = 8\\
A_3 &= 2^3+3^2 = 17\\
A_4 &= 2^4+4^2 = 32\\
A_5 &= 2^5+5^2 = 57\\
A_6 &= 2^6+6^2 = 100
\end{align*}

より,

\begin{align*}
a_1 &= 0\\
a_2 &= 2\\
a_3 &= 2\\
a_4 &= 2\\
a_5 &= 0\\
a_6 &= 1
\end{align*}

よって, \(a_n=1\) となるのは \(n\) が 6 で割り切れるとき. そのような 2018 以下の自然数 \(n\) は , \(2018=6\times 336+2\) より, 336個.

(3) (1), (2)を参考にして解きます.

\begin{align*}
B_{n+4}-B_n &= \{3^{n+4}+(n+4)^3\} – \{3^n+n^3\}\\
&= 3^n(3^4-1)+12n^2+48n+64\\
&= 4\{3^n\times 20+3n^2+12n+16\}
\end{align*}

\(3^n\times 20+3n^2+12n+16\) は自然数なので, \(B_{n+4}-B_n\) は 4 で割り切れる.

つまり, すべての自然数 \(n\) に対して, \(b_n=b_{n+4}\).

\(n=1, 2, 3, 4\) の場合を実際に計算すると,

\begin{align*}
B_1 &= 3^1+1^3 &= 4\\
B_2 &= 3^2+2^3 &= 17\\
B_3 &= 3^3+3^3 &= 54\\
B_4 &= 3^4+4^3 &= 145
\end{align*}

より,

\begin{align*}
b_1 &= 0\\
b_2 &= 1\\
b_3 &= 2\\
b_4 &= 1
\end{align*}

よって, \(b_n=2\) となるのは, \(n\) を 4 で割って 3 余るとき.

2018 以下の自然数で 4 で割って 3 余るのは, \(3, 7, \ldots, 2015\) で, 個数は \((2015-3)/4+1=504\) 個.

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