問題.
\(f(x) = \dfrac{3}{e^x+1}\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 正の数 \(a\) で
\begin{align*}
\int_0^a f(t)\,dt = a
\end{align*}
を満たすものがただ 1 つ存在することを示せ.
(2) (1)の \(a\) に対し, \(\log{2}<b<a\) を満たす \(b\) をとる. \(b\leqq x\leqq a\) において
\begin{align*}
0\leqq\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x} f(t)\,dt\leqq f(b)(a-x)
\end{align*}
を示せ.
(3) (1) の \(a\) に対し, \(\log{2}<b<a\) を満たす \(b\) をとる. 数列 \(\{x_n\}\) を \(x_1=b\),
\begin{align*}
x_{n+1} = \int_0^{x_n} f(t)\,dt
\end{align*}
で定める. このとき
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} x_n = a
\end{align*}
を示せ.
(1), (2) は微分の問題で比較的易しいと思います.
(3) は数列が \(a\) に収束することを示す問題ですが,
\begin{align*}
|a-x_{n+1}|\leqq p|a-x_n|,\quad |p|<1
\end{align*}
の形に持ち込む定番の問題です.
解答例.
(1) まず
\begin{align*}
g(x) = \int_0^x f(t)\,dt-x
\end{align*}
とおきます. \(g(x)\) を \(x\) で微分すると,
\begin{align*}
g^\prime(x) &= f(x)-1\\
&= \dfrac{2-e^x}{e^x+1}
\end{align*}
となるので, \(g^\prime(x)=0\) となるのは \(x=\log{2}\).
\(g(x)\) の増減表は以下のようになります.
いま, \(g(0) = 0\) なので, \(x>0\) かつ \(g(x)=0\) となるような \(x\) がただ1つ存在する.
よって, 題意は示された.
(2) \(f(x)\) を微分すると,
\begin{align*}
f^\prime(x) &= \dfrac{-3e^x}{e^x+1}\\
&<0
\end{align*}
より, \(f(x)\) は単調減少であるので, \(b\leqq x\leqq a\) より, \(x\leqq t\leqq a\) において \(0\leqq f(t)\leqq f(b)\).
また, すべての \(x\) に対して \(f(x)>0\) なので,
\begin{align*}
\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x} f(t)\,dt &= \int_x^a f(t)\,dt\\
&\geqq 0\\
\int_x^a f(t)\,dt \leqq \int_x^a f(b)\,dt\\
&= f(b)(a-x).
\end{align*}
これらをまとめると,
\begin{align*}
0\leqq\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x} f(t)\,dt\leqq f(b)(a-x).
\end{align*}
(3) \(x>a\) のときを考えると,
\begin{align*}
\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt &= -\int_a^x f(t)\,dt\\
\geqq -\int_a^x f(b)\,dt\\
&= f(b)(a-x)
\end{align*}
ただし, この両辺はともに負なので,
\begin{align*}
\left| \int_0^a f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt\right| \leqq \left|f(b)(a-x)\right|
\end{align*}
が成り立つ.
\begin{align*}
\left|a-x_{n+1}\right| &= \left|\int_0^a f(t)\,dt-\int_0^{x_n} f(t)\,dt\right|\\
&\leqq \left|f(b)(a-x_n)\right|\\
&= \left|f(b)\right|\left|a-x_n\right|
\end{align*}
この不等式を繰り返し用いると,
\begin{align*}
\left|a-x_{n}\right|\leqq\left|f(b)\right|^{n-1}\left|a-b\right|
\end{align*}
ここで, \(f\left(\log{2}\right)=1, \log{2}<b\) と \(f(x)\) の単調減少性から, \(0<f(b)<1\) なので, 上の不等式の右辺は \(n\to\infty\) のとき 0 に収束する.
よって, はさみうちの原理から
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}|a-x_n| &= 0\\
\therefore \lim_{n\to\infty}x_n &= a.
\end{align*}
