相加相乗平均の別証明
今回は, 2005年度に徳島大学で出題された, 相加相乗平均の不等式の証明を紹介します.
問題.
\(n\) は自然数とする.
(1) \(A\) を正の実数とし, 関数
\[f(x) = \left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{A}{n}\right)^nx\]
を考える. \(x>0\) のとき \(f(x)\geqq 0\) が成り立つことを示せ.
(2) \(a_1>0, a_2>0, \ldots, a_n>0\) とする. 次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
\[\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n\]
相加相乗平均の不等式については様々な証明方法があり, 下のリンク先で 2 通りの証明を紹介しています.
—-> 「(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)」
上の問題の解答例 (相加相乗平均の証明)
上の問題の誘導に従った相加相乗平均の証明を紹介します.
まず (1) の, \(x>0\) のとき \(f(x)\geqq 0\) を示します.
\(f(x)\) を \(x\) で微分すると,
\begin{align*}
f^\prime(x) &= (n+1)\left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}-\left(\dfrac{A}{n}\right)^n\\
&= \left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n – \left(\dfrac{A}{n}\right)^n
\end{align*}
\(f^\prime(x)=0\) となるとき, \(\dfrac{A+x}{n+1}=\dfrac{A}{n}\) より \(x=\dfrac{A}{n}\) であり, \(f(x)\) の増減表は下のようになる.
よって, \(f(x)\) は \(x=A/n\) で最小値 0 をとる, つまり \(f(x)>0\).
ではここから, 数学的帰納法を用いて相加相乗平均の関係を示していきます.
\begin{align}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n\tag{\(\ast\)}\end{align}
とおきます.
[1] \(n=1\) のとき
\[(左辺)=a_1, \quad (右辺)=a_1\]
なので, \((\ast)\) は成立する.
[2] \(n=k\) のとき \((\ast)\) が成立すると仮定すると,
\begin{align}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k. \tag{I}\end{align}
ここで, \(A=a_1+a_2+\cdots+a_k(>0)\) とおくと, (I)式は
\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k \end{align}
と書け, 両辺に \(a_{k+1}\) を掛けると
\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1} \tag{II}\end{align}
一方, (1) で示した不等式において \(x=a_{k+1}(>0)\) とすることで,
\begin{align}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq \left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1} \tag{III}\end{align}
(II), (III) から,
\begin{align*}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}
つまり,
\begin{align*}\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}
よって, \(n=k+1\) のときも \((\ast)\) は成立する.
従って, [1], [2] よりすべての自然数 \(n\) について
\[\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n\]
が成立する.
