二項係数(コンビネーション)の性質まとめ

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二項係数の性質まとめ.

定義

二項係数は \({}_nC_k\) や \(\dbinom{n}{k}\) の記号で書かれ,次の式で定義されます.

\begin{align*}
{}_nC_k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
\end{align*}

二項係数に関する重要事項.

1. (組み合わせ)
\(n\) 個の中から \(k\) 個を選ぶ方法は \({}_nC_k\) 通り.
2. (二項定理)
\((a+b)^n\) を展開すると
\begin{align*}
(a+b)^n &= a^n + na^{n-1}b+\cdots+{}_nC_k\,a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n\\
&= \sum_{k=0}^n {}_nC_k\,a^{n-k}b^k.
\end{align*}二項係数という名前は二項定理から来ています.
3. \(n\) を固定して和をとると
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n {}_nC_k = 2^n
\end{align*}これは 2. において \(a=b=1\) とすると出てきます.
4.
\begin{align*}
{}_nC_k+{}_nC_{k+1} = {}_{n+1}C_{k+1}
\end{align*}定義を代入すればすぐに確認できます.
5. (パスカルの三角形)

左右の端に 1 を並べて,右上と左上の和を計算して三角形に並べたもの.
上から \(n\) 段目の左から \(k\) 番目の値は \({}_{n-1}C_{k-1}\) となる.
4. とセットで知っておきたい.
5. 式変形でよく使う形
\begin{align*}
k\cdot {}_nC_k = n\cdot {}_{n-1}C_{k-1}
\end{align*}和を考えるときなどに使います.
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