京大 2019 年度理系第 1 問 (積分など)

この記事の所要時間: 723

問題.

次の各問に答えよ.
問1.\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) とする.\(\cos\theta\) は有理数ではないが,\(\cos{2\theta}\) と \(\cos{3\theta}\) がともに有理数となるような \(\theta\) の値を求めよ.ただし,\(p\) が素数のとき,\(\sqrt{p}\) が有理数でないことは証明なしに用いてよい.問2.次の定積分の値を求めよ.
(1) \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2{x}}\,dx\)
(2) \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{dx}{\cos{x}}\)

問1.は \(\cos\) の 2 倍角,3 倍角の公式を用いると \(\cos{2\theta}, \cos{3\theta}\) はともに \(\cos\theta\) の多項式の形で表せることを使います.

問2.は定積分の問題ですが,(1) は部分積分と \(\tan{x}\) の積分,(2) は上手く変数変換した上で,部分分数分解を用いて計算できます.どちらも 2 手間くらい必要ですが,そこまで難しい問題ではありません.

解答例.

問1.

まず,2倍角,3倍角の公式から

\begin{align*}
\cos{2\theta} &= 2\cos^2\theta\tag{1}\\
\cos{3\theta} &= 4\cos^3\theta-3\cos\theta\\
&= (4\cos^2\theta-3)\cos\theta.\tag{2}
\end{align*}

(3 倍角の公式を覚えていない場合は 2 倍角と加法定理を使って出しましょう.)
ここから,有理数が加減乗除について閉じている,すなわち\begin{align*}
(有理数) &+ (有理数) &= (有理数)\\
(有理数) &- (有理数) &= (有理数)\\
(有理数) &\times (有理数) &= (有理数)\\
(有理数) &\div (有理数) &= (有理数)\\
\end{align*}という性質を使います.
(1) 式から,

\begin{align*}
\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}
\end{align*}

(これは半角の公式ですね.)
条件から \(\cos{2\theta}\) が有理数なので,\(\cos^2\theta\) も有理数となります.
次に (2) 式に着目して,もし \(4\cos^2\theta-3\neq 0\) であれば,

\begin{align*}
\cos\theta = \dfrac{\cos{3\theta}}{4\cos^2\theta-3}
\end{align*}
が有理数になってしまい条件を満たさないので,\(4\cos^2\theta-3=0\) となります.
よって,\(\cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) となり,\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) より \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\).
このとき,たしかに \begin{align*}
\cos\theta &= \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\cos{2\theta} &= \frac{1}{2}\\
\cos{3\theta} &= 0
\end{align*} となり条件をみたしています.

問2.

(1) まず,\(\tan\) の微分 \((\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}\) であることを使って部分積分を行うと,

\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx &= \Big[x\tan x\Big]_0^{\pi/4} – \int_0^{\pi/4} \tan x\,dx
\end{align*}
右辺第 1 項は

\begin{align*}
\Big[x\tan x\Big]_0^{\pi/4} &= \dfrac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{4}\\
&= \frac{\pi}{4}.
\end{align*} となります.右辺第 2 項は \(\tan x\) の積分ですが,\(\frac{\sin x}{\cos x}\) と書き直すことで計算できます.
\(t = \cos x\) とおくと,\(dt = -\sin x\,dx\) となり,\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \tan x\,dx &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin x}{\cos x} \,dx\\
&= \int_1^{\sqrt{2}/2} -\frac{dt}{t}\\
&= \Big[-\log|t|\Big]_1^{\sqrt{2}/2}\\
&= -\log\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&= \frac{1}{2}\log{2}
\end{align*}

したがって,
\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,dx &= \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\log{2}.
\end{align*}

(2) まず,分母分子に \(\cos x\) をかけて,\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) を用いて変形すると,

\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos x} &= \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\cos^2 x}\,dx\\
&= \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\,dx
\end{align*} このように,被積分関数を

\begin{align*}
(\sin x の式) \times \cos x
\end{align*}
という形にすることで,置換積分ができます.((1) の \(\tan x\) の積分はこれの \(\sin, \cos\) が逆のパターンです)

というわけで,\(t=\sin x\) とおくと \(dt = \cos x\,dx\) となり,

\begin{align*}
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\,dx &= \int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dt}{1-t^2}.
\end{align*}

あとは部分分数分解を使って,分母が \(t\) の 1 次式になるようにして計算するだけです.

\begin{align*}
\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dt}{1-t^2} &= \frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{2}/2} \left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)\\
&= \frac{1}{2}\Big[-\log|1-t|+\log|1+t|\Big]_0^{\sqrt{2}/2}\\
&= \frac{1}{2}\left\{-\log\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\log\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\}\\
&= \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sqrt{2}/2}{1-\sqrt{2}/2}\right)\\
&= \frac{1}{2}\log\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)\\
&= \frac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2\\
&= \log(\sqrt{2}+1).
\end{align*}

最後のところは,\(\log\) の項をまとめて有理化することできれいな形にしました.

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