問題．
問題としては目新しくはない気がします．
京大 2016 年度の \(p^q+q^p\) の問題 同様に，\(|f(n)|, |f(n+1)|\) が素数にならないような \(n\) を見つけて除外していくことになります．
解答例．
\(n\) が偶数のときについて考える．
\(n=2m\), (\(m\)は整数) とおいて，(1) に代入すると
\begin{align*}
|f(2m)| &= |8m^3+8m^2+2|\\
&= 2|4m^3+4m^2+1|
\end{align*}
となり，\(|f(n)|\) は常に偶数なので，素数となるのは \(|4m^3+4m^2+1|=1\) のときのみ．
\(4m^3+4m^2+1=1\) とすると，\(4m^2(m+1)=0\) より \(m=0, -1\).
\(m=0\) のとき \(n=0\) で，\(|f(n+1)|=5\) で素数となる．
\(m=-1\) のとき \(n=-2\) で，\(|f(n+1)|=3\) で素数となる．
よって，\(n\) が偶数で \(|f(n)|\) が素数となるのは \(n=-2, 0\) のみなので，\(|f(n)|, |f(n+1)|\) がともに素数となるとき，\(n, n+1\) のいずれかが \(-2\) または \(0\).
\(|f(-3)|, |f(-1)|, |f(1)|\) を実際に計算してみると，
\begin{align*}
|f(-3)| &= 7\\
|f(-1)| &= 3\\
|f(1)| &= 5
\end{align*}
となり，すべて素数．
したがって，\(|f(n)|, |f(n+1)|\) がともに素数となる整数 \(n\) は，\(n=-3,-2,-1,0\).
解説．
今回は，\(f(x)=x^3+2x^2+2\) の 3 つの項を見たときに，\(x^3\) 以外の項の係数が偶数なので，\(n\) が偶数のとき \(|f(n)|\) が偶数となることにすぐに気づくことができます．
もしパット見で気づけなかったとしても，実際に \(|f(0)|, |f(1)|, |f(2)|, \ldots\) を計算してみることで気づくことができます．
