京大 2019 年度理系第 2 問

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問題.

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする.\(|f(n)|\) と \(|f(n+1)|\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ.

問題としては目新しくはない気がします.
京大 2016 年度の \(p^q+q^p\) の問題 同様に,\(|f(n)|, |f(n+1)|\) が素数にならないような \(n\) を見つけて除外していくことになります.

解答例.

\(n\) が偶数のときについて考える.
\(n=2m\), (\(m\)は整数) とおいて,(1) に代入すると
\begin{align*}
|f(2m)| &= |8m^3+8m^2+2|\\
&= 2|4m^3+4m^2+1|
\end{align*}

となり,\(|f(n)|\) は常に偶数なので,素数となるのは \(|4m^3+4m^2+1|=1\) のときのみ.

\(4m^3+4m^2+1=1\) とすると,\(4m^2(m+1)=0\) より \(m=0, -1\).
\(m=0\) のとき \(n=0\) で,\(|f(n+1)|=5\) で素数となる.
\(m=-1\) のとき \(n=-2\) で,\(|f(n+1)|=3\) で素数となる.

よって,\(n\) が偶数で \(|f(n)|\) が素数となるのは \(n=-2, 0\) のみなので,\(|f(n)|, |f(n+1)|\) がともに素数となるとき,\(n, n+1\) のいずれかが \(-2\) または \(0\).

\(|f(-3)|, |f(-1)|, |f(1)|\) を実際に計算してみると,

\begin{align*}
|f(-3)| &= 7\\
|f(-1)| &= 3\\
|f(1)| &= 5
\end{align*}

となり,すべて素数.

したがって,\(|f(n)|, |f(n+1)|\) がともに素数となる整数 \(n\) は,\(n=-3,-2,-1,0\).

解説.

今回は,\(f(x)=x^3+2x^2+2\) の 3 つの項を見たときに,\(x^3\) 以外の項の係数が偶数なので,\(n\) が偶数のとき \(|f(n)|\) が偶数となることにすぐに気づくことができます.

もしパット見で気づけなかったとしても,実際に \(|f(0)|, |f(1)|, |f(2)|, \ldots\) を計算してみることで気づくことができます.

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