京大 2019 年度理系第 3 問(積分)

問題．

解答例．

まず，頂点 \(\mathrm{B}\) を座標平面上の原点におき，点 \(\mathrm{A}\) の座標を \((\alpha, \beta)\), 点 \(\mathrm{C}\) の座標を \((\gamma, 0)\) とします．(\(0<\alpha<\gamma, 0<\beta\)).

まず，三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) は，

\begin{align*}
S &= \dfrac{1}{2}\cdot \gamma\cdot \beta\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{2}.
\end{align*}

点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm {AC}\) を \(t:1-t\) に内分する点なので，その座標は \(((1-t)\alpha+t\gamma, (1-t)\beta)\).

点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{BQ}\) を \(t:1-t\) に内分する点なので，その座標を \((x, y)\) とおくと，

\begin{align*}
x &= t\{(1-t)\alpha+t\gamma\}\\
y &= t(1-t)\beta.
\end{align*}

ここで，\(x\) を \(t\) で微分すると，

\begin{align*}
\dfrac{dx}{dt} &= 2(\gamma-\alpha)t+\alpha\\
&>0
\end{align*}

であるから，\(x\) は \(t\) について単調増加．

実数 \(t\) が \(0<t<1\) を動くときに点 \(\mathrm P\) の描く曲線と，線分 \(\mathrm {BC}\) によって囲まれる部分の面積は，

\begin{align*}
\int_0^\gamma y\,dx &= \int_0^1 y\cdot \dfrac{dx}{dt}\,dt\\
&= \int_0^1 t(1-t)\beta\cdot \{2(\gamma-\alpha)t+\alpha\}\,dt\\
&= \beta \int_0^1 [-2(\gamma-\alpha)t^3+\{2(\gamma-\alpha)-\alpha\}t^2+\alpha t]\,dt\\
&= \beta\Big[-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)t^4+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)t^3+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\Big]_0^1\\
&= \beta \left\{-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)+\dfrac{1}{2}\alpha\right\}\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{6}\\
&= \dfrac{S}{3}.
\end{align*}