京大 2019 年度理系第 3 問(積分)

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問題.

鋭角三角形 \(\mathrm {ABC}\) を考え,その面積を \(S\) とする.\(0<t<1\) をみたす実数 \(t\) に対し,線分 \(\mathrm {AC}\) を \(t:1-t\) に内分する点を \(\mathrm Q\), 線分 \(\mathrm{BQ}\) を \(t:1-t\) に内分する点を \(\mathrm P\) とする.実数 \(t\) がこの範囲を動くときに点 \(\mathrm P\) の描く曲線と,線分 \(\mathrm {BC}\) によって囲まれる部分の面積を,\(S\) を用いて表せ.
この問題では,\(\triangle \mathrm{ABC}\) の辺の長さなどが問題文に書かれていないので,自分でおく必要があります.
そして,点 \(\mathrm P\) の位置を \(t\) を用いて表す必要があります.

点 \(\mathrm P\) の座標を \((x, y)\) とするときに \(y\) を \(x\) で表すことはできないのですが,その状態で積分で面積を求められるか,がカギとなってきます.

解答例.

まず,頂点 \(\mathrm{B}\) を座標平面上の原点におき,点 \(\mathrm{A}\) の座標を \((\alpha, \beta)\), 点 \(\mathrm{C}\) の座標を \((\gamma, 0)\) とします.(\(0<\alpha<\gamma, 0<\beta\)).

まず,三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) は,

\begin{align*}
S &= \dfrac{1}{2}\cdot \gamma\cdot \beta\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{2}.
\end{align*}

点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm {AC}\) を \(t:1-t\) に内分する点なので,その座標は \(((1-t)\alpha+t\gamma, (1-t)\beta)\).

点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{BQ}\) を \(t:1-t\) に内分する点なので,その座標を \((x, y)\) とおくと,

\begin{align*}
x &= t\{(1-t)\alpha+t\gamma\}\\
y &= t(1-t)\beta.
\end{align*}

ここで,\(x\) を \(t\) で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{dx}{dt} &= 2(\gamma-\alpha)t+\alpha\\
&>0
\end{align*}

であるから,\(x\) は \(t\) について単調増加.

実数 \(t\) が \(0<t<1\) を動くときに点 \(\mathrm P\) の描く曲線と,線分 \(\mathrm {BC}\) によって囲まれる部分の面積は,

\begin{align*}
\int_0^\gamma y\,dx &= \int_0^1 y\cdot \dfrac{dx}{dt}\,dt\\
&= \int_0^1 t(1-t)\beta\cdot \{2(\gamma-\alpha)t+\alpha\}\,dt\\
&= \beta \int_0^1 [-2(\gamma-\alpha)t^3+\{2(\gamma-\alpha)-\alpha\}t^2+\alpha t]\,dt\\
&= \beta\Big[-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)t^4+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)t^3+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\Big]_0^1\\
&= \beta \left\{-\dfrac{1}{2}(\gamma-\alpha)+\dfrac{1}{3}(2\gamma-3\alpha)+\dfrac{1}{2}\alpha\right\}\\
&= \dfrac{\beta\gamma}{6}\\
&= \dfrac{S}{3}.
\end{align*}

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