京大 2019 年度理系第 5 問(最大値)

この記事の所要時間: 419

問題.

半径 1 の球面上の 5 点 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4\) は,正方形 \(\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) を底面とする四角錐をなしている.この 5 点が球面上を動くとき,四角錐 \(\mathrm{A}\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) の体積の最大値を求めよ.
体積を求める必要があるので,自分で変数を導入して,体積を表し最大値を求めていきます.
正四面体とは問題文に書いていないので,そこだけ注意しましょう.
球に内接する四角錐の問題ですが,半分に切った断面図を考えると分かりやすいです.

解答例.

原点を中心とする単位球を考えます.

正方形 \(\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) が平面 \(z=-t, (0<t<1)\) 上にあるとしても一般性を失いません.

このとき,三平方の定理から,4 頂点 \(\mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4\) と \(z\) 軸との距離は \(\sqrt{1-t^2}\) なので,正方形 \(\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) の面積は

\begin{align*}
2\cdot\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{1-t^2} = 2(1-t^2).
\end{align*}

\(t\) を固定した状態でもう一つの頂点 \(\mathrm{A}\) を球面上で動かしたときに四角錐の体積が最大となるのは,点 \(\mathrm{A}\) の座標が \((0,0,1)\) のときであり,その体積を \(V\) とすると,

\begin{align*}
V &= \dfrac{1}{3}\cdot 2(1-t^2)\cdot |1-(-t)|\\
&= \dfrac{2}{3}(1-t^2)(1+t)\\
&= \dfrac{2}{3}(1+t-t^2-t^3).
\end{align*}

微分して,

\begin{align*}
\dfrac{V}{t} &= \dfrac{2}{3}(1-2t-3t^2)\\
&= \dfrac{2}{3}(1-3t)(1+t).
\end{align*}

\(V\) の増減表は以下のようになります.

よって,\(t=\frac{1}{3}\) のとき体積 \(V\) は最大となり,そのとき
\begin{align*}
V &= \dfrac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right\}\left(1+\frac{1}{3}\right)\\
&= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot \dfrac{4}{3}\\
&= \dfrac{64}{81}.
\end{align*}

微分しない方法.

上では素直に微分を用いて最大値を求めましたが,相加相乗平均を用いて最大値を求めることもできます.詳しくはこちらの記事を見て下さい.

今回の場合,3 項の相加相乗平均の関係を少し変形した,

\begin{align*}
abc \leqq \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3
\end{align*}

を用います.

まず \(1-t^2\) の部分を因数分解します.

そして,相加相乗平均の関係を使ったときに \(t\) が消えるようにするために,2 をくくりだします.

\begin{align*}
V &= \dfrac{2}{3}(1-t^2)(1+t)\\
&= \dfrac{2}{3}(1+t)^2(1-t)\\
&= \dfrac{2}{3}\cdot 2^2\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)^2(1-t)\\
&= \dfrac{8}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)\cdot 2(1-t)\\
&\leqq \dfrac{8}{3}\left(\dfrac{(1/2+t/2)+(1/2+t/2)+(1-t)}{3}\right)^3\\
&= \dfrac{8}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3\\
&= \frac{64}{81}.
\end{align*}

となり同じ答えになります.

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