京大 2019 年度理系第 6 問

この記事の所要時間: 513

問題.

\(i\) は虚数単位とする.\((1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}\) をみたす最小の正の整数 \(n\) を求めよ.
(実際には常用対数表が与えられています.)
複素数なのに不等号…?と一瞬思いますが,
\begin{align*}
\overline{(1+i)^n} &= (\overline{1+i})^n\\
&= (1-i)^n
\end{align*}
と,\((1+i)^n\) と \((1-i)^n\) は共役な複素数なので,足すと虚部が打ち消し合って実数になります.
複素数の \(n\) 乗は,ド・モアブルの定理
\begin{align*}
(\cos\theta\pm i\sin\theta)^n = \cos{n\theta}\pm i\sin{n\theta}
\end{align*}
を使って処理していきます.
\(n\) によって,左辺が正になったり,負になったり,0 になったりと変化するという点で,よくある桁数を求める問題より少し複雑です.

解答例.

ド・モアブルの定理を使いたいので,
\begin{align*}
1+i &= \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
1-i &= \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)
\end{align*}
と極形式に直しておきます.
すると,
\begin{align*}
(1+i)^n+(1-i)^n &= \left\{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right\}^n\\
&\quad +\left\{\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right\}^n\\
&= (\sqrt{2})^n\left\{\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right)+\left(\cos\frac{n\pi}{4}-i\sin\frac{n\pi}{4}\right)\right\}\\
&= 2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4}.
\end{align*}
よって,問題の不等式は
\begin{align*}
2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4}>10^{10}\tag{1}
\end{align*}
と書き換えられます.
ここで,\(n\) を 8 で割ったときの余りを \(m\) とすると,
\begin{align*}
\cos\frac{n\pi}{4} = \left\{\begin{array}{ll}
1 & (m=0)\\
\sqrt{2}/2 & (m=1, 7)\\
0 & (m=2, 6)\\
-\sqrt{2}/2 & (m=3, 5)\\
-1 & (m= 4)
\end{array}\right.
\end{align*}
 なので,
\begin{align*}
2^{\frac{n+2}{2}}\cos\frac{n\pi}{4} = \left\{\begin{array}{ll}
2^{\frac{n+2}{2}} & (m=0)\\
2^{\frac{n+1}{2}} & (m=1, 7)\\
0 & (m=2, 6)\\
-2^{\frac{n+1}{2}} & (m=3, 5)\\
-2^{\frac{n+2}{2}} & (m= 4)
\end{array}\right.\tag{2}
\end{align*}
となります.
よって,\((1)\) をみたす \(n\) を 8 で割った余りは \(0, 1, 7\) のいずれかであることがわかります.
ここで,\(2^\frac{k}{2}>10^{10}\) となる \(k\) の条件を調べていきます.
常用対数をとると,
\begin{align*}
\dfrac{k}{2}\log_{10}{2} &> 10\log_{10}{10}=10\\
k &> \dfrac{20}{\log_{10}{2}}.
\end{align*}
常用対数表を見ると,\(\log_{10}{2}<0.30105\) なので,
\begin{align*}
k &> \dfrac{20}{0.30105}\\
&\simeq 66.4.
\end{align*}
よって,\(k\geqq 67\) のとき \(2^\frac{k}{2}>10^{10}\) が成り立ちます.
[1] \(m=0, n=8l\) , \(l\):整数 のとき
\(8l+2\geqq 67\) より \(l\geqq \frac{65}{8}\) なので,最小の \(l\) は \(l=9\) でそのとき \(n=72\).
[2] \(m=1, n=8l+1\), \(l\):整数 のとき
\((8l+1)+1\geqq 67\) より \(l\geqq \frac{65}{8}\) なので,最小の \(l\) は \(l=9\) でそのとき \(n=73\).
[3] \(m=7, n=8l+7\), \(l\):整数 のとき
\((8l+7)+1\geqq 67\) より \(l\geqq \frac{59}{8}\) なので,最小の \(l\) は \(l=8\) でそのとき \(n=71\).
[1]〜[3] より,最小の整数 \(n\) は,\(n=71.\)
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