神大 2019 年度理科系第 4 問

この記事の所要時間: 439

問題.

少し面白い問題があったので,紹介します.

次のように \(1, 3, 4\) を繰り返して並べて得られる数列を \(\{a_n\}\) とする.
\[1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4, \ldots\]すなわち,\(a_1=1\), \(a_2=3\), \(a_3=4\) で,4 以上の自然数 \(n\) に対し,\(a_n=a_{n-3}\) とする.この数列の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とする.以下の問に答えよ.
(1) \(S_n\) を求めよ.
(2) \(S_n=2019\) となる自然数 \(n\) は存在しないことを示せ.
(3) どのような自然数 \(k\) に対しても,\(S_n=k^2\) となる自然数 \(n\) が存在することを示せ.
(1) の結果を利用して,(2) を解きます.
(3) は,数列 \(\{S_n\}\) にすべての平方数が登場することを示せ,という問題.\(S_n\) の性質に気づくことができれば比較的簡単に示すことができます.

解答例.

(1)

数列 \(\{a_n\}\) が 3 項で周期になっているので,\(n\) を 3 で割った余りで場合分けしていきます.

[i] \(n=3m\), \(m\) が自然数 のとき
\(1, 3, 4\) の周期を \(m\) 回繰り返すので,
\begin{align*}
S_n &= (1+3+4)m\\
&= 8m\\
&= \frac{8}{3}n.
\end{align*}

[ii] \(n=3m-2\), \(m\) が自然数 のとき

\begin{align*}
S_n &= (1+3+4)(m-1)+1\\
&= 8m-7\\
&= 8\cdot\frac{1}{3}(n+2)-7\\
&= \frac{8}{3}n-\frac{5}{3}.
\end{align*}

[ii] \(n=3m-1\), \(m\) が自然数 のとき

\begin{align*}
S_n &= (1+3+4)(m-1)+1+3\\
&= 8m-4\\
&= 8\cdot\frac{1}{3}(n+1)-4\\
&= \frac{8}{3}n-\frac{4}{3}.
\end{align*}

(2)

(1) の結果を利用します.

[1] \(n=3m\), \(m\) が自然数 のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n &= 2019\\
n &= \frac{6057}{8}
\end{align*}となり,\(S_n=2019\) となる \(n\) は存在しません.

[2] \(n=3m-2\), \(m\) が自然数 のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n-\frac{5}{3} &= 2019\\
n &= \frac{3031}{4}
\end{align*}となり,\(S_n=2019\) となる \(n\) は存在しません.

[3] \(n=3m-1\), \(m\) が自然数 のとき

\begin{align*}
\frac{8}{3}n-\frac{4}{3} &= 2019\\
n &= \frac{6061}{8}
\end{align*}となり,\(S_n=2019\) となる \(n\) は存在しません.

(2)の別解

数列 \(\{a_n\}\) は \(1, 3, 4\) が繰り返されてるので,\(\{S_n\}\) に現れる項を 8 で割った余りは \(0, 1, 4\) のいずれかになります.一方,2019 を 8 で割った余りは 3 なので,\(\{S_n\}\) には現れません.

(3)

(2) の別解に書いたように,数列 \(\{S_n\}\) には 8 で割った余りが \(0, 1, 4\) である自然数が全て現れます.そこで,\(k^2\) を 8 で割った余りを考えます.\(k\) を 8 で割った商を \(a\), 余りを \(b\) とする(\(0\leqq b\leqq 7\))と,

\begin{align*}
k^2 &= (8a+b)^2\\
&= 64a^2+16ab+b^2\\
&\equiv b^2\pmod{8}.
\end{align*}

\(b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) について,\(b^2\) を 8 で割った余りを考えると,

\begin{align*}
0^2 = 0 \equiv 0\\
1^2 = 1 \equiv 1\\
2^2 = 4 \equiv 4\\
3^2 = 9 \equiv 1\\
4^2 = 16\equiv 0\\
5^2 = 25\equiv 1\\
6^2 = 36\equiv 4\\
7^2 = 49\equiv 1
\end{align*}より,すべて \(0, 1, 4\) のいずれかになるので,どのような自然数 \(k\) に対しても,\(S_n=k^2\) となる自然数 \(n\) が存在します.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加