神大 2019 年度理科系第 3 問(確率)

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神大 2019 年度理科系第 3 問.

問題.

\(n\) を 2 以上の整数とする.2 個のさいころを同時に投げるとき,出た目の数の積を \(n\) で割った余りが 1 となる確率を \(P_n\) とする.以下の問に答えよ.
(1) \(P_2, P_3, P_4\) を求めよ.
(2) \(n\geqq 36\) のとき,\(P_n\) を求めよ.
(3) \(P_n=\dfrac{1}{18}\) となる \(n\) をすべて求めよ.
さいころを投げる確率の問題です.出た目の積を \(n\) で割った余りという変わった設定ですが丁寧に考えれば難しくありません.
下の解答例では (1) を計算で求めていますが,さいころ 2 個の出た目の組み合わせは \(6\times 6=36\) 通りだけなので,書き出した表 (下の (3) に載せています) を使って考えた方が分かりやすいかもしれません.

解答例.

(1)

・\(P_2\)

出た目の積が 2 で割って 1 余る,つまり奇数となるのは出た目が 2 つとも奇数(1, 3, 5)のとき.よって,
\begin{align*}
P_2 &= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}\\
&= \dfrac{1}{4}.
\end{align*}

・ \(P_3\)

出た目の積が 3 で割って 1 余るのは,(i). 出た目が 2 つとも 3 で割って 1 余る(1, 4) とき,(ii). 出た目が 2 つとも 3 で割って 2 余る (2, 5) とき のいずれか.よって,
\begin{align*}
P_3 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}\\
&= \dfrac{2}{9}.
\end{align*}

・ \(P_4\)

出た目の積が 4 で割って 1 余るのは,(i). 出た目が 2 つとも 4 で割って 1 余る(1, 5) とき,(ii). 出た目が 2 つとも 4 で割って 3 余る (3) とき のいずれか.よって,
\begin{align*}
P_4 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{5}{36}.
\end{align*}

(2)

出た目の積は最大で \(6\times 6=36\) なので,\(n\geqq 36\) のとき \(n\) で割った余りが 1 となるのは,出た目の積が \(1\times 1=1\) となるときのみ.よって,\begin{align*}P_n = \dfrac{1}{36}. \end{align*}

(3)

さいころ 2 個の目の組み合わせと,それに対する目の積を表にしたものが下図です.

(1), (2) の結果から,\(5\leqq n\leqq 35\) と分かります.

\(P_n=\dfrac{1}{18}=\dfrac{2}{36}\) なので,\(n\) で割って 1 余るような出た目の組み合わせが 2 通りある (つまり,上の表の 36 個の数の中に,\(n\) で割って 1 余る数がちょうど 2 個だけある) ような \(n\) になります.

また,\(1\times 1=1\) はどんな \(n\) で割っても必ず 1 余ることに注意すると,\(n\) で割って 1 余るもう一つの数は上の表に 1 度しか登場しない \(9, 16, 25, 36\) のいずれか.よって,\(n\) の候補として,これらから 1 を引いた \(8, 15, 24, 35\) の約数である,\[6,12, 15, 24, 35\] が得られます.(5 は 15 と 35, 8 は 8 と 24 の公約数になっているので,条件を満たさない.)

これらの数で割って 1 余る数は表の中にほかにはないので,\(P_n=\dfrac{1}{18}\) となる \(n\) は,\[n=6, 12, 15, 24, 35.\]

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