神大 2019 年度理科系第 3 問.
問題.
(1) \(P_2, P_3, P_4\) を求めよ.
(2) \(n\geqq 36\) のとき,\(P_n\) を求めよ.
(3) \(P_n=\dfrac{1}{18}\) となる \(n\) をすべて求めよ.
解答例.
(1)
・\(P_2\)
出た目の積が 2 で割って 1 余る,つまり奇数となるのは出た目が 2 つとも奇数(1, 3, 5)のとき.よって,
\begin{align*}
P_2 &= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}\\
&= \dfrac{1}{4}.
\end{align*}
・ \(P_3\)
出た目の積が 3 で割って 1 余るのは,(i). 出た目が 2 つとも 3 で割って 1 余る(1, 4) とき,(ii). 出た目が 2 つとも 3 で割って 2 余る (2, 5) とき のいずれか.よって,
\begin{align*}
P_3 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}\\
&= \dfrac{2}{9}.
\end{align*}
・ \(P_4\)
出た目の積が 4 で割って 1 余るのは,(i). 出た目が 2 つとも 4 で割って 1 余る(1, 5) とき,(ii). 出た目が 2 つとも 4 で割って 3 余る (3) とき のいずれか.よって,
\begin{align*}
P_4 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{5}{36}.
\end{align*}
(2)
出た目の積は最大で \(6\times 6=36\) なので,\(n\geqq 36\) のとき \(n\) で割った余りが 1 となるのは,出た目の積が \(1\times 1=1\) となるときのみ.よって,\begin{align*}P_n = \dfrac{1}{36}. \end{align*}
(3)
さいころ 2 個の目の組み合わせと,それに対する目の積を表にしたものが下図です.
(1), (2) の結果から,\(5\leqq n\leqq 35\) と分かります.
\(P_n=\dfrac{1}{18}=\dfrac{2}{36}\) なので,\(n\) で割って 1 余るような出た目の組み合わせが 2 通りある (つまり,上の表の 36 個の数の中に,\(n\) で割って 1 余る数がちょうど 2 個だけある) ような \(n\) になります.
また,\(1\times 1=1\) はどんな \(n\) で割っても必ず 1 余ることに注意すると,\(n\) で割って 1 余るもう一つの数は上の表に 1 度しか登場しない \(9, 16, 25, 36\) のいずれか.よって,\(n\) の候補として,これらから 1 を引いた \(8, 15, 24, 35\) の約数である,\[6,12, 15, 24, 35\] が得られます.(5 は 15 と 35, 8 は 8 と 24 の公約数になっているので,条件を満たさない.)
これらの数で割って 1 余る数は表の中にほかにはないので,\(P_n=\dfrac{1}{18}\) となる \(n\) は,\[n=6, 12, 15, 24, 35.\]