神大 2021 年度理科系第 3 問(確率)

神大 2021 年度理科系第 3 問．

問題．

解答例．

(1)

・\(P_2\)

出た目の積が 2 で割って 1 余る，つまり奇数となるのは出た目が 2 つとも奇数(1, 3, 5)のとき．よって，
\begin{align*}
P_2 &= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}\\
&= \dfrac{1}{4}.
\end{align*}

・ \(P_3\)

出た目の積が 3 で割って 1 余るのは，(i). 出た目が 2 つとも 3 で割って 1 余る(1, 4) とき，(ii). 出た目が 2 つとも 3 で割って 2 余る (2, 5) とき　のいずれか．よって，
\begin{align*}
P_3 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}\\
&= \dfrac{2}{9}.
\end{align*}

・ \(P_4\)

出た目の積が 4 で割って 1 余るのは，(i). 出た目が 2 つとも 4 で割って 1 余る(1, 5) とき，(ii). 出た目が 2 つとも 4 で割って 3 余る (3) とき　のいずれか．よって，
\begin{align*}
P_4 &= \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{5}{36}.
\end{align*}

(2)

出た目の積は最大で \(6\times 6=36\) なので，\(n\geqq 36\) のとき \(n\) で割った余りが 1 となるのは，出た目の積が \(1\times 1=1\) となるときのみ．よって，\begin{align*}P_n = \dfrac{1}{36}. \end{align*}

(3)

さいころ 2 個の目の組み合わせと，それに対する目の積を表にしたものが下図です．

(1), (2) の結果から，\(5\leqq n\leqq 35\) と分かります．

\(P_n=\dfrac{1}{18}=\dfrac{2}{36}\) なので，\(n\) で割って 1 余るような出た目の組み合わせが 2 通りある (つまり，上の表の 36 個の数の中に，\(n\) で割って 1 余る数がちょうど 2 個だけある) ような \(n\) になります．

また，\(1\times 1=1\) はどんな \(n\) で割っても必ず 1 余ることに注意すると，\(n\) で割って 1 余るもう一つの数は上の表に 1 度しか登場しない \(9, 16, 25, 36\) のいずれか．よって，\(n\) の候補として，これらから 1 を引いた \(8, 15, 24, 35\) の約数である，\[6,12, 15, 24, 35\] が得られます．(5 は 15 と 35, 8 は 8 と 24 の公約数になっているので，条件を満たさない．)

これらの数で割って 1 余る数は表の中にほかにはないので，\(P_n=\dfrac{1}{18}\) となる \(n\) は，\[n=6, 12, 15, 24, 35.\]