神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数,積分)

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神大 2019 年度文科系第 1 問

問題.

\(a, b, c\) を実数とし,\(a\neq0\) とする.2 次関数 \(f(x)\) を\[f(x)=ax^2+bx+c\]で定める.曲線 \(y=f(x)\) は点 \(\left(2, 2-\dfrac{c}{2}\right)\) を通り,\[\int_0^3 f(x)\,dx=\dfrac{9}{2}\] をみたすとする.以下の問に答えよ.
(1) 関数 \(f(x)\) を \(a\) を用いて表せ.
(2) 点 \(1, f(1)\) における曲線 \(y=f(x)\) の接線を \(l\) とする.直線 \(l\) の方程式を \(a\) を用いて表せ.
(3) \(0<a<\dfrac{1}{2}\) とする.(2) で求めた曲線 \(l\) の \(y\geqq0\) の部分と曲線 \(y=f(x)\) の \(x\geqq0\) の部分および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積 \(S\) の最大値と,そのときの \(a\) の値を求めよ.
(1) は問題文で与えられた条件から \(b, c\) を消去する問題.
(2) は微分して 2 次関数の接線を求める問題.次の公式?(というほどでもない?) を使います.
\(y=f(x)\) の点 \(p, f(p)\) における接線の方程式は,\[y=f^\prime(p)(x-p)+f(p)\]
つまり,傾きが \(f^\prime(p)\) で点 \((p, f(p))\) を通る直線ですね.
(3) は曲線と直線に囲まれた面積の問題.グラフがかければ積分して計算します.計算すると \(S\) は \(a\) の 2次式になるので,平方完成して最大値を求めます.\(a\) に \(0<a<\frac{1}{2}\) という条件がついていることを忘れないようにしましょう.
定番問題といった感じです.

解答例.

(1)

\(y=f(x)\) が点 \(\left(2, 2-\dfrac{c}{2}\right)\) を通るので \[f(2)=4a+2b+c=2-\dfrac{c}{2}\] より\[4a+2b+\dfrac{3}{2}c=2. \tag{1}\]
また,
\begin{align*}
\int_0^3 f(x)\,dx &= \int_0^3 (ax^2+bx+c)\,dx\\
&= \Big[\dfrac{a}{3}x^3+\dfrac{b}{2}x^2+cx\Big]_0^3\\
&= 9a+\dfrac{9}{2}b+3c
\end{align*} より,\[9a+\dfrac{9}{2}b+3c=\dfrac{9}{2}. \tag{2}\]

\((1)\times\frac{9}{4}-(2)\) より,\(\frac{3}{8}c=0\), つまり \(c=0\).

また,\((2)-(1)\times 2\) より \(a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}\), つまり \(b=-2a+1\).

よって,\[f(x)=ax^2+(-2a+1)x.\]

(2)

\(f(x)=ax^2+(-2a+1)x\) より,\(f^\prime(x)=2ax-2a+1\). \(f(1)=-a+1, f^\prime(1)=1\) なので,接線の方程式は
\begin{align*}
y &= 1\cdot(x-1)+(-a+1)\\
&= x-a.
\end{align*}

(3)

曲線 \(y=ax^2+(-2a+1)x=x(ax-2a+1)\) は,原点 \(\mathrm{O}(0,0)\) と点 \((2-\frac{1}{a}, 0)\) で \(x\) 軸と交わり,\(0<a<\frac{1}{2}\) より \(2-\frac{1}{a}<0\) なので,グラフは上図のようになります.

\(S\) は斜線部分の面積で,\(f(1)=1-a\) に注意して計算します.接線の下側の三角形の部分の面積は積分するよりも三角形の面積の公式から求めたほうが楽ができます.
\begin{align*}
S &= \int_0^1 \{ax^2+(-2a+1)x\}\,dx-(1-a)(1-a)\cdot\frac{1}{2}\\
&= \Big[\dfrac{a}{3}x^3+\dfrac{-2a+1}{2}x^2\Big]_0^1-\dfrac{(1-a)^2}{2}\\
&= \dfrac{a}{3}+\dfrac{-2a+1}{2}-\dfrac{1-2a+a^2}{2}\\
&= -\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{3}a\\
&= -\dfrac{1}{2}\left(a^2-\dfrac{2}{3}a\right)\\
&= -\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{18}.
\end{align*}

よって,\(0<a<\dfrac{1}{2}\) なので,\(a=\dfrac{1}{3}\) のとき \(S\) は最大値 \(\dfrac{1}{18}\) .

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