神大 2021 年度文科系第 1 問
問題．
(1) 関数 \(f(x)\) を \(a\) を用いて表せ．
(2) 点 \(1, f(1)\) における曲線 \(y=f(x)\) の接線を \(l\) とする．直線 \(l\) の方程式を \(a\) を用いて表せ．
(3) \(0<a<\dfrac{1}{2}\) とする．(2) で求めた曲線 \(l\) の \(y\geqq0\) の部分と曲線 \(y=f(x)\) の \(x\geqq0\) の部分および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積 \(S\) の最大値と，そのときの \(a\) の値を求めよ．
解答例．
(1)
\(y=f(x)\) が点 \(\left(2, 2-\dfrac{c}{2}\right)\) を通るので \[f(2)=4a+2b+c=2-\dfrac{c}{2}\] より\[4a+2b+\dfrac{3}{2}c=2. \tag{1}\]
また，
\begin{align*}
\int_0^3 f(x)\,dx &= \int_0^3 (ax^2+bx+c)\,dx\\
&= \Big[\dfrac{a}{3}x^3+\dfrac{b}{2}x^2+cx\Big]_0^3\\
&= 9a+\dfrac{9}{2}b+3c
\end{align*} より，\[9a+\dfrac{9}{2}b+3c=\dfrac{9}{2}. \tag{2}\]
\((1)\times\frac{9}{4}-(2)\) より，\(\frac{3}{8}c=0\), つまり \(c=0\).
また，\((2)-(1)\times 2\) より \(a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}\), つまり \(b=-2a+1\).
よって，\[f(x)=ax^2+(-2a+1)x.\]
(2)
\(f(x)=ax^2+(-2a+1)x\) より，\(f^\prime(x)=2ax-2a+1\). \(f(1)=-a+1, f^\prime(1)=1\) なので，接線の方程式は
\begin{align*}
y &= 1\cdot(x-1)+(-a+1)\\
&= x-a.
\end{align*}
(3)
曲線 \(y=ax^2+(-2a+1)x=x(ax-2a+1)\) は，原点 \(\mathrm{O}(0,0)\) と点 \((2-\frac{1}{a}, 0)\) で \(x\) 軸と交わり，\(0<a<\frac{1}{2}\) より \(2-\frac{1}{a}<0\) なので，グラフは上図のようになります．
\(S\) は斜線部分の面積で，\(f(1)=1-a\) に注意して計算します．接線の下側の三角形の部分の面積は積分するよりも三角形の面積の公式から求めたほうが楽ができます．
\begin{align*}
S &= \int_0^1 \{ax^2+(-2a+1)x\}\,dx-(1-a)(1-a)\cdot\frac{1}{2}\\
&= \Big[\dfrac{a}{3}x^3+\dfrac{-2a+1}{2}x^2\Big]_0^1-\dfrac{(1-a)^2}{2}\\
&= \dfrac{a}{3}+\dfrac{-2a+1}{2}-\dfrac{1-2a+a^2}{2}\\
&= -\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{3}a\\
&= -\dfrac{1}{2}\left(a^2-\dfrac{2}{3}a\right)\\
&= -\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{18}.
\end{align*}
よって，\(0<a<\dfrac{1}{2}\) なので，\(a=\dfrac{1}{3}\) のとき \(S\) は最大値 \(\dfrac{1}{18}\) ．
