重複組合せの問題Vol.1
重複組合せについては前回の記事を見てください.
この記事では,重複組合せの代表的な問題を1つ紹介します.
\(n=3\) の場合を例として,実際に書き出してみましょう.
\(x, y, z\)はそれぞれが0以上で和が3なので,
(0,0,3), (0,1,2), (0,2,1), (0,3,0), (1,0,2), (1,1,1), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0), (3,0,0)
と全部で10通りあります.
前回の記事の問題でいうと,キャンディ,クッキー,チョコから3個を選ぶ方法が何通りあるか,という問題で,キャンディ,クッキー,チョコの個数をそれぞれ \(x, y, z\) とすればQ1.の \(n=3\)の場合と同じ問題です.
一般の \(n\) の場合も同様なので,
\begin{align*}
{}_3H_n&={}_{n+2}C_n\\
&= {}_{n+2}C_2
&=\dfrac{1}{2}(n+2)(n+1)
\end{align*}
通りとなります.
もっと一般の場合
では,変数が \(m\) 個ある場合はどうでしょうか.
{}_mH_n &= {}_{m+n-1}C_n
\end{align*}