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重複組合せの問題Vol.1
重複組合せについては前回の記事を見てください．
この記事では，重複組合せの代表的な問題を１つ紹介します．
Q1. \(n\) を自然数とする．\(x+y+z= n\) を満たす 0 以上の整数 \((x,y,z)\)の組はいくつあるか．
\(n=3\) の場合を例として，実際に書き出してみましょう．
\(x, y, z\)はそれぞれが0以上で和が3なので，
(0,0,3), (0,1,2), (0,2,1), (0,3,0), (1,0,2), (1,1,1), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0), (3,0,0)
と全部で10通りあります．
前回の記事の問題でいうと，キャンディ，クッキー，チョコから3個を選ぶ方法が何通りあるか，という問題で，キャンディ，クッキー，チョコの個数をそれぞれ \(x, y, z\) とすればQ1.の \(n=3\)の場合と同じ問題です．
一般の \(n\) の場合も同様なので，
\begin{align*}
{}_nH_3&={}_{n+2}C_3\\
&=\dfrac{1}{6}(n+2)(n+1)n
\end{align*}
通りとなります．
もっと一般の場合
では，変数が \(m\) 個ある場合はどうでしょうか．
Q2. \(n\) を自然数とする．\(x_1+x_2+\cdots+x_m= n\) を満たす\(m\)個の 0 以上の整数 \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\)の組はいくつあるか．
これも同じですね．\(m\)個から重複を許して\(n\)個を選ぶのと同じなので，
\begin{align*}
{}_nH_m &= {}_{n+m-1}C_m
\end{align*}
{}_nH_m &= {}_{n+m-1}C_m
\end{align*}
通りになります．
次回以降，この問題の亜種とも呼べるような，応用について紹介していきます．
