錐(すい)の体積と三角形の面積

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錐の体積と三角形の面積.

錐の体積の公式

三角錐,四角錐,円錐,…の錐(すい)という漢字は訓読みでは「きり」と読みます.これは,小さな穴を開けるための先のとがった工具です.

三角錐や円錐といった「錐」とは,穴をあける道具のように先の尖った立体です.

では,「〇〇錐」の体積の求め方はどうだったかというと,

\begin{align*}
(\text{〇〇錐の体積}) = (\text{底面積})\times (\text{高さ})\times\frac{1}{3}
\end{align*}

でした.これは三角錐でも四角錐でも,円錐でも使える公式です.

この式に登場する \(\frac{1}{3}\)って何なの?という話をします.

三角形の面積と一緒??

上に書いた錐の体積の公式とよく似た形の公式があることに気がつくでしょうか?

ずばり,三角形の面積の公式です.

\begin{align*}
(\text{三角形の面積}) = (\text{底辺})\times(\text{高さ})\times \frac{1}{2}
\end{align*}

なんとなく見た目が似ています.この2つの公式が似ているのは偶然ではありません.三角形は平面図形,つまり2次元なので\(\frac{1}{2}\), 錐は立体図形,つまり3次元なので\(\frac{1}{3}\)となっているのです.錐は,平面図形と,その面上にない一点を結んだ図形です.一方で,三角形はある線分と,その線上にない一点を結んだ図形になっています.

では,具体的に積分を使って公式の導出を行い,3次元なので\(\frac{1}{3}\), 2次元なので\(\frac{1}{2}\)となることを確認してみましょう.

まずは三角形から.

底辺の長さを\(l\), 高さを\(h\)とします.

底辺が\(x\)軸上にくるように\(x, y\)の座標軸をとります.このとき,直線\(y=t\)と三角形の重なる部分の長さを\(f(t)\)をします.すると,面積\(S\)は

\begin{align}
S = \int_0^h f(t)\,dt
\end{align}

となります.ここで,\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{ADE}\)の相似を考えると,相似比が\(h:(h-t)\)なので,\[f(t)=DE=\frac{h-t}{h}l\]となります.

よって,

\begin{align}
S &= \int_0^h \frac{h-t}{h}l\,dt\\
&= \int_0^h \frac{t}{h}l\,dt\\
&= \Big[\frac{t^2}{2h}l\Big]_0^h\\
&= \frac{lh}{2}
\end{align}

1行目から2行目は計算を楽にするために \(h-t\) を \(t\) と置き直しているだけです. この計算を見ると,2次元なので被積分関数が1次元→積分で\(\frac{1}{2}\)がでてくる,という流れが分かるかと思います.

ではほとんどやることは同じですが,錐の方も確認してみましょう.

底面積を \(S\) , 高さを\(h\)とします.底面が \(x-y\)平面上にのるような\(x, y, z\) 座標を考えます.この錐体を平面 \(z=t\) で切断したときの切断面の面積を \(g(t)\) とします.

切断面は底面と相似で,相似比が \(h:(h-t)\) となるので,

\begin{align}
g(t) = \frac{(h-t)^2}{h^2}S.
\end{align}

よって,体積 \(V\) を積分で求めると,

\begin{align}
V &= \int_0^h \frac{(h-t)^2}{h^2}S\,dt\\
&= \int_0^h \frac{t^2}{h^2}S\,dt\\
&= \Big[\frac{t^3S}{3h^2}\Big]_0^h\\
&= \frac{hS}{3}.
\end{align}

となります.

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