解と係数の関係

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解と係数の関係

この記事では,解と係数の関係とその証明について説明します.

\(n\) 次方程式は重解を含めて \(n\) 個の解を持ちます.\(n\) 個の解と,方程式の係数が満たす関係式が解と係数の関係です.特に 2 次,3 次の場合はよく使うので覚えておきましょう.

1.2次方程式の場合

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\,(a\neq 0)\) の解を \(\alpha, \beta\) とすると,
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha + \beta &= -\frac{b}{a}\\
\alpha\beta &= \frac{c}{a}
\end{array}\right.
\end{align*}

証明.

2 つの解が \(\alpha, \beta\) である 2 次方程式で,\(x^2\) の係数が \(a\) であるものは \[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\]と書け,展開すると\[ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0\]
これが \(ax^2+bx+c=0\) と一致するので,係数を比較して,
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}-a(\alpha+\beta)&=b\\
a\alpha\beta&= c\end{array}\right.
\end{align*}
となり,解と係数の関係が得られます.

2.3次方程式の場合

3次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)\) の解を \(\alpha, \beta, \gamma\) とすると,
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
\alpha + \beta + \gamma &= -\frac{b}{a}\\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma &= -\frac{d}{a}
\end{array}\right.
\end{align*}

証明.

2 次の場合と同様に,解が \(\alpha, \beta, \gamma\) で \(x^3\) の係数が \(a\) である 3 次方程式は\[a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\]と書ける.
これを展開して,\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) と係数を比較すれば解と係数の関係が得られます.

3.一般の\(n\)次方程式の場合

\(n\) 次方程式 \(a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0=0\,(a_{n}\neq 0)\) の解を \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n}\) とすると,
\begin{align*}
\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n} \alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k} = (-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_{n}}\quad(k=1, 2, \ldots, n)
\end{align*}

証明.

\(n\) 個の解が \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) である \(n\) 次方程式で,\(x^n\) の係数が \(a_{n}\) であるものは \[a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)=0\]と書け,展開して \(a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_0=0\) と係数を比較すると
得られます.

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