#数学夏祭り 問2(9月1日出題)

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#数学夏祭り 問2(幾何). (9/1出題)

昨日8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください.

本記事ではその問題の解説を行います.

問題.

問2. \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) は \(\angle {\mathrm{B}} = \frac{\pi}{4}\),\(\angle{\mathrm{C}}=\frac{\pi}{8}\),\(\mathrm{BC}=\sqrt{6}\) である.
\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心を \(\mathrm{H}\),外心を \(\mathrm{O}\),重心を \(\mathrm{G}\)とし,外心に関して垂心と対称な点を \(\mathrm{L}\),線分 \(\mathrm{GL}\) を \(m:n\) に外分する点を \(\mathrm{D}\) とする.(ただし,\(m, n\) は \(0 < n < m\) をみたす実数とする.)
四角形 \(\mathrm{ABDC}\) の面積 \(S\) を,\(m, n\) を用いた式で表わせ.

難易度:★★★★★★☆☆☆☆

解説.

(比を簡単にする計算や分母の有理化など,細かい計算過程は省いています.)

図を書くと右のようになります.\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心,重心,外心は同一直線上にあり,\(HG:GO=2:1\) です.(この直線はオイラー線といい,どんな三角形でもこの比は\(2:1\)です.)

右の図には書いてませんが,条件として \(\mathrm{BC}=\sqrt{6}, \angle {\mathrm{ABC}} = \frac{\pi}{4}, \angle{\mathrm{ACB}}=\frac{\pi}{8}\) が与えられています.

点 \(\mathrm{A}\) から辺 \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{P}\),外心 \(\mathrm{O}\) から辺 \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{Q}\),直線 \(\mathrm{HO}\) と辺 \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{R}\) とします.

まず,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の面積を求めます.

\(\angle{\mathrm{ABC}} = \frac{\pi}{4}\) なので,\(AP = BP\) で,
\begin{align*}
BP : CP &= AP : CP\\
&= \tan{\frac{\pi}{8}} : 1\\
&= \left(\sqrt{2}-1\right) : 1
\end{align*}

なので(\(\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)は半角の公式などを使えば出てきます),

\begin{align*}
BP = AP &=\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1) + 1}\\
&= \sqrt{6} – \sqrt{3}\\
CP &= BC – BP\\
&= \sqrt{6} – (\sqrt{6} – \sqrt{3})\\
&= \sqrt{3}
\end{align*}

と求まり,\(\triangle{\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = 3 – \frac{3}{2}\sqrt{2}\) です.

次に,\(\triangle{\mathrm{HBC}}\) の面積を考えます.

\(\triangle{\mathrm{HBP}}\) と \(\triangle{\mathrm{CAP}}\) は \(\angle{B}\) が共通,\(\angle{\mathrm{HPB}} = \angle{\mathrm{CPA}} = \frac{\pi}{2}\),\(\mathrm{BP}=\mathrm{AP}\) から合同なので,\(\mathrm{HP}=\mathrm{CP}=\sqrt{3}\) です.よって,

\begin{align*}
\triangle{\mathrm{HBC}} &= \frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{AP}}\times\triangle{\mathrm{ABC}}\\
&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\times\left(3 – \frac{3}{2}\sqrt{2}\right)\\
&= \frac{3}{2}\sqrt{2}
\end{align*}

ここで,比 \(\mathrm{HR} : \mathrm{RD}\) が求まれば,\(\triangle{\mathrm{DBC}}\) の面積が

\begin{align*}
\triangle{\mathrm{DBC}} &= \frac{\mathrm{RD}}{\mathrm{HR}}\triangle{\mathrm{HBC}}
\end{align*}

として求まるので,\(\mathrm{HR} : \mathrm{RD}\) を求めていきます.

円周角,中心角の関係などを使って計算すると \(\angle{\mathrm{OCI}} = \frac{\pi}{8}\) が求まるので,

\begin{align*}
\mathrm{OI} &= \mathrm{CI}\tan\frac{\pi}{8}\\
&= \frac{\sqrt{6}}{2}\left(\sqrt{2}-1\right)
\end{align*}

ここで,\(\triangle{\mathrm{HPR}}\) と \(\triangle{\mathrm{OQR}}\) は相似なので,

\begin{align*}
\mathrm{HR} : \mathrm{OR} &= \mathrm{HP} : \mathrm{OQ}\\
&= \sqrt{3} : \frac{\sqrt{6}}{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\\
&= \sqrt{2} : \left(\sqrt{2}-1\right)\\
&= \left(2 + \sqrt{2}\right) : 1
\end{align*}

一方で,三角形の性質から

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GO} &= 2 : 1
\end{align*}

なので,この比を合わせると,

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GR} : \mathrm{RO} &= \left(6 + 2\sqrt{2}\right) : \sqrt{2} : 3
\end{align*}

となります.さらに,\(\mathrm{HO} = \mathrm{OL}\),\(\mathrm{D}\) は線分 \(\mathrm{GL}\) を \(m : n\) に外分することから順に計算すると,

\begin{align*}
\mathrm{HG} : \mathrm{GR} : \mathrm{RO} : \mathrm{OL} : \mathrm{LD} &= \left(6 + 2\sqrt{2}\right) : \sqrt{2} : 3 : \left(9 + 3\sqrt{2}\right) : \frac{n}{m-n}\left\{4\left(3+\sqrt{2}\right)\right\}
\end{align*}

となるので,

\begin{align*}
\mathrm{HR} : \mathrm{RD} = \left(6 + 3\sqrt{2}\right) : \left[12+3\sqrt{2}+\frac{n}{m-n}\left\{4\left(3+\sqrt{2}\right)\right\}\right]
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
\triangle{\mathrm{DBC}} &= \frac{\mathrm{RD}}{\mathrm{HR}}\triangle{\mathrm{HBC}}\\
&= \frac{12+3\sqrt{2}+\frac{n}{m-n}\big\{4\big(3+\sqrt{2}\big)\big\}}{6+3\sqrt{2}}\times\frac{3}{2}\sqrt{2}\\
&= \frac{9}{2}\sqrt{2} – 3 + \frac{2\big(2\sqrt{2}-1\big)n}{m-n}
\end{align*}

したがって,四角形 \(\mathrm{ABDC}\) の面積 \(S\) は,

\begin{align*}
S &= \triangle{\mathrm{ABC}} + \triangle{\mathrm{DBC}}\\
&= \left(3 – \frac{3}{2}\sqrt{2}\right) + \left(\frac{9}{2}\sqrt{2} – 3 + \frac{2\big(2\sqrt{2}-1\big)n}{m-n}\right)\\
&= 3\sqrt{2} + \frac{2\big(2\sqrt{2}-1\big)n}{m-n}.
\end{align*}

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