#数学夏祭り 問3(9月2日出題)

この記事の所要時間: 57

#数学夏祭り 問3(三角関数).(9/2出題)

8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください.

本記事ではその問題の解説を行います.

問題.

問3.
自然数 \(n\) に対して,\(x\) の多項式 \(T_n(x)\) で
\begin{align*}
\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)
\end{align*}が実数 \(\theta\) によらず成立するものを考えることで,
\begin{align*}
K = \prod_{k=1}^{40} \cos\Big(\frac{2k-1}{79}\pi\Big)
\end{align*}を求め,\([|\log_2{|K|}|]\) を与えよ.ここで,数列 \(\{a_n\}\) と \(m\leqq n\) なる整数 \(m, n\) に対し \(\displaystyle\prod_{k=m}^n a_k = a_m\times a_{m+1}\times\cdots\times{a_{n-1}}\times a_n\) と表し,実数 \(x\) 以下の最大の整数を \([x]\) と表す.

難易度:★★★★★★★☆☆☆

解説.

問題文の冒頭にある \(T_n(x)\) は,第一種チェビシェフ多項式 (Chebyshev polynomials) と呼ばれる多項式です.

後で用いるので,チェビシェフ多項式について説明しておきます.

具体例を計算してみると,

\(T_1(\cos\theta) = \cos\theta\) より, \(T_1(x)=x\).

\begin{align*}
T_2(\cos\theta) &= \cos2\theta\\
&= 2\cos^2\theta-1
\end{align*}
より,\(T_2(x) = 2x^2-1\).

\begin{align*}
T_3(\cos\theta) &= \cos3\theta\\
&= 4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align*}

より,\(T_3(x) = 4x^3-3x\).

という感じです.

後で使うので,チェビシェフ多項式の性質を挙げておきます.

チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) は,漸化式
\begin{align*}
T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) – T_n(x)
\end{align*}をみたす.

簡単に証明しておくと,三角関数の和積の公式

\begin{align*}
\cos{A} + \cos{B} = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
\end{align*}

を用いると,

\begin{align*}
\cos(n+2)\theta + \cos n\theta &= 2\cos(n+1)\theta\cos\theta\\
T_{n+2}(x) + T_n(x) &= 2xT_{n+1}(x)
\end{align*}

となり上の漸化式が得られます.

この漸化式を用いると,\(T_n(x)\) が \(x\) の \(n\) 次多項式で,最高次 \(x^n\) の係数は \(2^{n-1}\), 定数項を \(a_n\) とすると
\begin{align*}
a_n = \begin{cases}
0 & (n:奇数)\\
(-1)^{n/2} & (n:偶数)
\end{cases}
\end{align*}

となることが分かります.

では,ここから問題の解説に入ります.

\(\theta = \dfrac{2k-1)}{79}\pi\, k=1, 2, \ldots, 40\) を考えると,

\begin{align*}
79\theta &= (2k-1)\pi\\
40\theta &= (2k-1)\pi – 39\theta\\
\cos40\theta &= \cos\{(2k-1)\pi – 39\theta\}\\
&= -\cos39\theta\\
\therefore \cos40\theta + \cos39\theta &= 0
\end{align*}

よって,\(x = \cos\frac{2k-1}{79}\pi, k=1, 2, \ldots, 40\) が \(40\) 次方程式
\begin{align*}
T_{40}(x) + T_{39}(x) = 0
\end{align*}

の解であることが分かります.

ここで,チェビシェフ多項式の性質から,\(T_{40}(x)+T_{39}(x)\) は最高次の係数が \(2^{39}\), 定数項が \(1\) で,解と係数の関係を用いると,

\begin{align*}
K &= \prod_{k=1}^{40} \cos\frac{2k-1}{79}\pi\\
&= \frac{1}{2^{39}}
\end{align*}

となります.

したがって,

\begin{align*}
[|\log_2|K||] &= [|\log_2\frac{1}{2^{39}}|]\\
&= [|-39|]\\
&= [39]\\
&= 39.
\end{align*}

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