#数学夏祭り 問３(三角関数)．(9/2出題)
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本記事ではその問題の解説を行います．
問題．
自然数 \(n\) に対して，\(x\) の多項式 \(T_n(x)\) で
\begin{align*}
\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)
\end{align*}が実数 \(\theta\) によらず成立するものを考えることで，
\begin{align*}
K = \prod_{k=1}^{40} \cos\Big(\frac{2k-1}{79}\pi\Big)
\end{align*}を求め，\([|\log_2{|K|}|]\) を与えよ．ここで，数列 \(\{a_n\}\) と \(m\leqq n\) なる整数 \(m, n\) に対し \(\displaystyle\prod_{k=m}^n a_k = a_m\times a_{m+1}\times\cdots\times{a_{n-1}}\times a_n\) と表し，実数 \(x\) 以下の最大の整数を \([x]\) と表す．
難易度：★★★★★★★☆☆☆
解説．
問題文の冒頭にある \(T_n(x)\) は，第一種チェビシェフ多項式 (Chebyshev polynomials) と呼ばれる多項式です．
後で用いるので，チェビシェフ多項式について説明しておきます．
具体例を計算してみると，
\(T_1(\cos\theta) = \cos\theta\) より， \(T_1(x)=x\).
\begin{align*}
T_2(\cos\theta) &= \cos2\theta\\
&= 2\cos^2\theta-1
\end{align*}
より，\(T_2(x) = 2x^2-1\).
\begin{align*}
T_3(\cos\theta) &= \cos3\theta\\
&= 4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align*}
より，\(T_3(x) = 4x^3-3x\).
という感じです．
後で使うので，チェビシェフ多項式の性質を挙げておきます．
\begin{align*}
T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) – T_n(x)
\end{align*}をみたす．
簡単に証明しておくと，三角関数の和積の公式
\begin{align*}
\cos{A} + \cos{B} = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
\end{align*}
を用いると，
\begin{align*}
\cos(n+2)\theta + \cos n\theta &= 2\cos(n+1)\theta\cos\theta\\
T_{n+2}(x) + T_n(x) &= 2xT_{n+1}(x)
\end{align*}
となり上の漸化式が得られます．
この漸化式を用いると，\(T_n(x)\) が \(x\) の \(n\) 次多項式で，最高次 \(x^n\) の係数は \(2^{n-1}\), 定数項を \(a_n\) とすると
\begin{align*}
a_n = \begin{cases}
0 & (n:奇数)\\
(-1)^{n/2} & (n:偶数)
\end{cases}
\end{align*}
となることが分かります．
では，ここから問題の解説に入ります．
\(\theta = \dfrac{2k-1)}{79}\pi\, k=1, 2, \ldots, 40\) を考えると，
\begin{align*}
79\theta &= (2k-1)\pi\\
40\theta &= (2k-1)\pi – 39\theta\\
\cos40\theta &= \cos\{(2k-1)\pi – 39\theta\}\\
&= -\cos39\theta\\
\therefore \cos40\theta + \cos39\theta &= 0
\end{align*}
よって，\(x = \cos\frac{2k-1}{79}\pi, k=1, 2, \ldots, 40\) が \(40\) 次方程式
\begin{align*}
T_{40}(x) + T_{39}(x) = 0
\end{align*}
の解であることが分かります．
ここで，チェビシェフ多項式の性質から，\(T_{40}(x)+T_{39}(x)\) は最高次の係数が \(2^{39}\), 定数項が \(1\) で，解と係数の関係を用いると，
\begin{align*}
K &= \prod_{k=1}^{40} \cos\frac{2k-1}{79}\pi\\
&= \frac{1}{2^{39}}
\end{align*}
となります．
したがって，
\begin{align*}
[|\log_2|K||] &= [|\log_2\frac{1}{2^{39}}|]\\
&= [|-39|]\\
&= [39]\\
&= 39.
\end{align*}
