#数学夏祭り 問4(9月3日出題)

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#数学夏祭り 問4(確率).(9/3出題)

8月31日から2週間の間,数学夏祭りというイベントが開催されています.平日に毎日一問ずつ問題がTwitter上で出題され,解答,拡散,解説といった方法で気軽に参加できます.

詳しくは公式サイト(https://mathmatsuri.org)を見てください.

本記事ではその問題の解説を行います.

問題.

問4.
6以上の偶数 \(n\) に対して,\(n\) 未満の正の奇数を無作為に 1 つ選んで \(p\) とするとき,\(p\) と \(q=n-p\) がともに素数となる確率を \(P(n)\) とする.
(例えば,\(n=10\) のとき,\(p=1, 3, 5, 7, 9\) の 5 通りに対して,それぞれ \(q=9, 7, 5, 3, 1\) となるが,このうち \(p\) と \(q\) がともに素数になる組は,\((p, q)=(3, 7), (5, 5), (7, 3)\) の 3 通りなので,\(P(10) = \frac{3}{5}\) である.)

80以下の偶数 \(n\) の中で,\(P(n)\) が最小となる \(n\) とそのときの確率 \(P(n)\) を求めよ.

難易度:★★★★★☆☆☆☆☆

解説.

本問を解くことに直接関係はありませんが,この問題はゴールドバッハ予想と呼ばれる未解決問題と関係があります.

ゴールドバッハ予想

    2 より大きいすべての偶数は 2 つの素数のの和として表せる

偶数 \(n\) が大きくなるほど,\(n\) を 2 つの奇数の和として表す方法が増えるので,そのうち素数の和になっている割合を求め,最小となるものを見つけてください,というのが本問の趣旨です.

今回の問題については,地道に数え上げるしかないと思います.

問題文通り偶数 \(6, 8, \ldots, 80\) を 2 つの奇数に分けて,素数かどうかを確認しても良いのですが,次のようにすることで少しだけ楽ができます.

①.\(80\) 以下の奇素数の表を用意する.(以下の21個)

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79

②.\(2\) つの奇素数の和が \(80\) を超えないようなものの個数を,和の値ごとに数え上げる.

③.各偶数 \(n\) ごとに,②で和が \(n\) になったものの個数÷ \((n/2)\) が\(P(n)\) になる.

実際にやってみると,結果は次のようになります.

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline
n & \text{奇素数の和で表す場合の数} & P(n)\\\hline
6 & 1 & 1/3 \\\hline
8 & 2 & 1/2 \\\hline
10 & 3 & 3/5 \\\hline
12 & 2 & 1/3 \\\hline
14 & 3 & 3/7 \\\hline
16 & 4 & 1/2 \\\hline
18 & 4 & 4/9 \\\hline
20 & 4 & 2/5 \\\hline
22 & 5 & 5/11 \\\hline
24 & 6 & 1/2 \\\hline
26 & 5 & 5/13 \\\hline
28 & 4 & 2/7 \\\hline
30 & 6 & 2/5 \\\hline
32 & 4 & 1/4 \\\hline
34 & 7 & 7/17 \\\hline
36 & 8 & 4/9 \\\hline
38 & 3 & 3/19 \\\hline
40 & 6 & 3/10 \\\hline
42 & 8 & 8/21 \\\hline
44 & 6 & 3/11 \\\hline
46 & 7 & 7/23 \\\hline
48 & 10 & 5/12 \\\hline
50 & 8 & 8/25 \\\hline
52 & 6 & 3/13 \\\hline
54 & 10 & 10/27 \\\hline
56 & 6 & 3/14 \\\hline
58 & 7 & 7/29 \\\hline
60 & 12 & 2/5 \\\hline
62 & 5 & 5/31 \\\hline
64 & 10 & 5/16 \\\hline
66 & 12 & 4/11 \\\hline
68 & 4 & 2/17 \\\hline
70 & 10 & 2/7 \\\hline
72 & 12 & 1/3 \\\hline
74 & 9 & 9/37 \\\hline
76 & 10 & 5/19 \\\hline
78 & 14 & 14/39 \\\hline
80 & 8 & 1/5 \\\hline
\end{array}\)

よって,\(P(n)\) が最小であるのは \(n=68\) のときで \(P(n)=2/17\) です.

〜〜〜〜ここからはオマケ〜〜〜〜

80以下のところをもっと大きな数にして調べたらどうかと思ったので,プログラムを書いて調べてみました.また,\(P(n)\) が最大となる \(n\) についても同様に求めました.

・\(10\) 以下では,
最小:\(n=6, P(n)=\frac{1}{3}=0.3333\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

・\(100\) 以下では,
最小:\(n=68, P(n)=\frac{2}{17}=0.1176\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

・\(1000\) 以下では,
最小:\(n=992, P(n)=\frac{13}{248}=0.0524\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

・\(10000\) 以下では,
最小:\(n=9602, P(n)=\frac{153}{4801}=0.0318\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

・\(100000\) 以下では,
最小:\(n=95276, P(n)=\frac{534}{23819}=0.0224\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

・\(1000000\) 以下では,
最小:\(n=991316, P(n)=\frac{3904}{147829}=0.0157\cdots\)
最大:\(n=10, P(n) = \frac{3}{5}=0.6\)

大きい数まで調べると,\(P(n)\) が小さくなる \(n\) は現れてきますが,\(P(10)=0.6\) よりも大きくなることはなさそうです.

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