京大2021年度理系第2問(微分・最小値)

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問題.

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曲線 \(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(\mathrm{P}\)における接線は\(x\)軸と交わるとし,その交点を\(\mathrm{Q}\)とおく.線分\(\mathrm{PQ}\)の長さを\(L\)とするとき,\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ.

この問題は解いてみると意外と難しくありません.

点\(\mathrm{P}\)の座標を文字でおいて線分\(L\)の長さを求め,微分・増減表を書いて最小値を求めるという一般的な方法で解くことができます.

解説.

上に書いたような手順で解いていきます.

\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\) を微分すると \(y^\prime=x\) なので,点 \(\mathrm{P}\)の\(x\)座標を \(p\) とすると接線の方程式は

\begin{align*}
y &= p(x-p) + \frac{1}{2}(p^2+1)\\
&= px – \frac{p^2-1}{2}.
\end{align*}

\(p=0\)のとき\(x\)軸と交わらないので\(p\neq 0\)で,\(y=0\)を代入すると

\begin{align*}
0 &= px – \frac{p^2-1}{2}\\
x &= \frac{p^2-1}{2p}
\end{align*}

となり,点\(\mathrm{Q}\)の座標は \(\left(\frac{p^2-1}{2p}, 0\right)\).

よって,線分\(\mathrm{PQ}\)の長さ\(L\)の2乗を計算すると,

\begin{align*}
L^2 &= \left(p – \frac{p^2-1}{2p}\right)^2 + \left\{\frac{p^2+1}{2}\right\}^2\\
&= \left(\frac{p^2+1}{2p}\right)^2+\left(\frac{p^2+1}{2}\right)^2\\
&= \frac{1}{p^2}\left(\frac{p^2+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{p^2+1}{2}\right)^2\\
&= (\frac{1}{p^2}+1)\left(\frac{p^2+1}{2}\right)^2\\
&= \frac{(p^2+1)^3}{4p^2}.
\end{align*}

\(L>0\) より,\(L\)が最小値をとるときと\(L^2\)が最小値をとるときは同じなので,\(L^2\)の最小値を考えることにします.

\(f(p) = \frac{(p^2+1)^3}{4p^2}\) とおいて\(p\)で微分すると,

\begin{align*}
f^\prime(p) &= \frac{3(p^2+1)^2\cdot 2p\cdot 4p^2 – (p^2+1)^3\cdot 8p}{16p^4}\\
&= \frac{(p^2+1)^2(2p^2-1)}{2p^3}.
\end{align*}

\(f\prime(p)=0\)となるのは\(p=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)のときで,増減表を書くと次のようになります.

\begin{align*}
f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= \frac{(\frac{1}{2}+1)^3}{4\cdot \frac{1}{2}}\\
&= \frac{27}{16}
\end{align*}

なので,\(L^2\)は\(p=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)で最小値\(\frac{27}{16}\)をとり,

したがって,\(L\)は\(p=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)で最小値\(\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3}{4}\sqrt{3}\)となります.

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