京大2021年度理系第4問(曲線の長さ)

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問題.

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曲線 \(y=\log(1+\cos{x})\) の \(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\) の部分の長さを求めよ.

問題自体はシンプルですね.公式に当てはめて,あとは積分がきちんと計算できるかどうかという問題です.

曲線の長さを求めるには以下の公式を使います.

曲線の長さを求める公式.
媒介変数 \(t\) を用いて \(x = f(t), y=g(t)\) と表される曲線において,\(t_0\leqq t\leqq t_1\) の部分の長さ \(L\) は,
\begin{align*}
L &= \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\{f^\prime(t)\}^2+\{g^\prime(t)\}^2}\,\mathrm{d}t
\end{align*}特に,曲線 \(y=f(x)\) の \(x_0\leqq x\leqq x_1\) の部分の長さ \(L\) は
\begin{align*}
L &= \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{\{1+f^\prime(x)\}^2}\,\mathrm{d}x
\end{align*}
で表される.

解答例.

求める長さを \(L\) とおくと,
\begin{align*}
L &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\,\mathrm{d}x
\end{align*}

\(y=\log(a+\cos{x})\)より,\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{-\sin{x}}{1+\cos{x}}\).

\begin{align*}
\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} &= \sqrt{1+\frac{\sin^2{x}}{(1+\cos{x})^2}}\\
&= \sqrt{\frac{(1+2\cos{x}+\cos^2{x})+\sin^2{x}}{(1+\cos{x})^2}}\\
&= \sqrt{\frac{2(1+\cos{x})}{(1+\cos{x})^2}}\\
&= \sqrt{\frac{2}{1+\cos{x}}}\\
&= \sqrt{\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}\\
&= \frac{1}{\cos{\frac{x}{2}}}\quad (\because 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}より\cos\frac{x}{2}\geqq 0)
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos{\frac{x}{2}}}\,\mathrm{d}x
\end{align*}

となります.後はこの積分を頑張って計算していきましょう.分母・分子に \(\cos\frac{x}{2}\)をかけて

\begin{align*}
L &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}\,\mathrm{d}x\\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\frac{x}{2}}{1-\sin^2\frac{x}{2}}\,\mathrm{d}x
\end{align*}

とし,ここで \(t=\sin\frac{x}{2}\) とおくと,\(\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\mathrm{d}x\) で,\(x=0\) のとき \(t=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\) のとき \(t=\frac{\sqrt{2}}{2}\) なので,

\begin{align*}
L &= \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{2}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\\
&= \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\,\mathrm{d}t\\
&= \Big[\log|1+t|-\log|1-t|\Big]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
&= \log\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\log\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
&= \log\frac{2+\sqrt{2}}{2}-\log\frac{2-\sqrt{2}}{2}\\
&= \log\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\
&= \log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\
&= \log(\sqrt{2}+1)^2\\
&= 2\log(\sqrt{2}+1).
\end{align*}

今回のような \(\frac{1}{\cos{x}}\) や \(\frac{1}{\sin{x}}\) の積分はたまに出題されるので,変数変換して計算する方法を覚えておくといいかと思います.

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