問題．
\((\ast)\) \(\angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3}\) かつ点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標は正．
次の各問に答えよ．
(1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の外心の座標を求めよ．
(2) 点 \(\mathrm{A}\) が条件 \((\ast)\) を満たしながら動くとき，\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡を求めよ．
(1) はいくつか考え方があるとは思いますが，この記事では余弦定理を使ってみます．
(2) の垂心については，①ベクトルで考える ②垂線の方程式から交点を求める などの方法が考えられますが，今回は①の方法で解きます．
ちなみに，実際の入試で使うべきかは分かりませんが，オイラー線の性質(三角形の重心は，外心と垂心を結んだ線分を \(1:2\) に内分する点) を使うと垂心は楽に求まります．
解答例．
(1) 辺 \(\mathrm{BC}\) の長さは \(2\sqrt{3}\) なので，\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の外
接円の半径を \(R\) とおいて余弦定理を使うと
\begin{align*}
2R &= \frac{2\sqrt{3}}{\sin60^\circ}\\
&= \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
&= 4\\
\therefore R &= 2
\end{align*}
外心は辺 \(\mathrm{BC}\) の垂直二等分線，つまり\(y\) 軸上にあるので，その座標を \((0, \alpha)\) とおくと，点 \(\mathrm{B}\) からの距離が \(2\) なので
\begin{align*}
\{0-(-\sqrt{3})\}^2 + \{\alpha – (-1)\}^2 &= 2^2\\
(\alpha+1)^2 &= 1\\
\alpha+1 &= \pm 1\\
\therefore \alpha &= -2, 0
\end{align*}
となります．点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標が正で \(\angle{\mathrm{BAC}}=60^\circ<90^\circ\) なので，外心の \(y\) 座標は \(\alpha>-1\) でなければならないので，外心の座標は \((0, 0)\).
(2) (1) の結果から，点 \(\mathrm{A}\) は原点 \((0, 0)\) を中心として半径 \(2\) の円周の \(y>0\) の部分を動くことがわかります．そこで，点 \(\mathrm{A}\) の座標を \((2\cos\theta, 2\sin\theta), (0<\theta<\pi)\) とおきます．
辺 \(\mathrm{BC}\) は \(x\) 軸に平行なので，\(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の方程式は \(y=(2\cos\theta) x\). よって，\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の \(x\) 座標は \(2\cos\theta\).
次に，垂心の \(y\) 座標を \(t\) とおくと，
\[\overrightarrow{BH} = (2\cos\theta+\sqrt{3}, t+1)\]
また，
\[\overrightarrow{AC} = (-2\cos\theta+\sqrt{3}, -2\sin\theta-1)\]
なので，
\begin{align*}
\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC} &= (2\cos\theta+\sqrt{3})(-2\cos\theta+\sqrt{3})+(t+1)(-2\sin\theta-1)\\
&= -4\cos^2\theta+3-2\sin\theta-1-(2\sin\theta+1)t\\
&= -4(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+2-(2\sin\theta+1)t\\
&= 4\sin^2\theta-2\sin\theta-2-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(2\sin\theta-2)-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(-t+2\sin\theta-2)
\end{align*}
\(\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}\) より \(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)なので，\(t=2\sin\theta-2\).
したがって，垂心の座標 \((s, t)\) は \(s=2\cos\theta, t=2\sin\theta-2\) なので，
\begin{align*}
s^2 + (t+2)^2 &= 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\\
&= 4
\end{align*}
\(0<\theta<\pi\) より \(-2<s<2, t>-2\).
以上より，\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡は円 \(x^2+(y+2)^2=4\) の \(y>-2\) の部分．
