京大2021年度理系第5問(軌跡)

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問題.

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\(xy\) 平面において,2点 \(\mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1), \mathrm{C}(\sqrt{3}, -1)\) に対し,点 \(\mathrm{A}\) は次の条件 \((\ast)\)を満たすとする.
\((\ast)\)  \(\angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3}\) かつ点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標は正.
次の各問に答えよ.
(1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の外心の座標を求めよ.
(2) 点 \(\mathrm{A}\) が条件 \((\ast)\) を満たしながら動くとき,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡を求めよ.

(1) はいくつか考え方があるとは思いますが,この記事では余弦定理を使ってみます.

(2) の垂心については,①ベクトルで考える ②垂線の方程式から交点を求める などの方法が考えられますが,今回は①の方法で解きます.

ちなみに,実際の入試で使うべきかは分かりませんが,オイラー線の性質(三角形の重心は,外心と垂心を結んだ線分を \(1:2\) に内分する点) を使うと垂心は楽に求まります.

解答例.

(1) 辺 \(\mathrm{BC}\) の長さは \(2\sqrt{3}\) なので,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の外
接円の半径を \(R\) とおいて余弦定理を使うと

\begin{align*}
2R &= \frac{2\sqrt{3}}{\sin60^\circ}\\
&= \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
&= 4\\
\therefore R &= 2
\end{align*}

外心は辺 \(\mathrm{BC}\) の垂直二等分線,つまり\(y\) 軸上にあるので,その座標を \((0, \alpha)\) とおくと,点 \(\mathrm{B}\) からの距離が \(2\) なので

\begin{align*}
\{0-(-\sqrt{3})\}^2 + \{\alpha – (-1)\}^2 &= 2^2\\
(\alpha+1)^2 &= 1\\
\alpha+1 &= \pm 1\\
\therefore \alpha &= -2, 0
\end{align*}

となります.点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標が正で \(\angle{\mathrm{BAC}}=60^\circ<90^\circ\) なので,外心の \(y\) 座標は \(\alpha>-1\) でなければならないので,外心の座標は \((0, 0)\).

(2) (1) の結果から,点 \(\mathrm{A}\) は原点 \((0, 0)\) を中心として半径 \(2\) の円周の \(y>0\) の部分を動くことがわかります.そこで,点 \(\mathrm{A}\) の座標を \((2\cos\theta, 2\sin\theta), (0<\theta<\pi)\) とおきます.

辺 \(\mathrm{BC}\) は \(x\) 軸に平行なので,\(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{BC}\) に下ろした垂線の方程式は \(y=(2\cos\theta) x\). よって,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の \(x\) 座標は \(2\cos\theta\).

次に,垂心の \(y\) 座標を \(t\) とおくと,

\[\overrightarrow{BH} = (2\cos\theta+\sqrt{3}, t+1)\]

また,

\[\overrightarrow{AC} = (-2\cos\theta+\sqrt{3}, -2\sin\theta-1)\]

なので,

\begin{align*}
\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC} &= (2\cos\theta+\sqrt{3})(-2\cos\theta+\sqrt{3})+(t+1)(-2\sin\theta-1)\\
&= -4\cos^2\theta+3-2\sin\theta-1-(2\sin\theta+1)t\\
&= -4(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+2-(2\sin\theta+1)t\\
&= 4\sin^2\theta-2\sin\theta-2-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(2\sin\theta-2)-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(-t+2\sin\theta-2)
\end{align*}

\(\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}\) より \(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)なので,\(t=2\sin\theta-2\).

※ 三角形の外心 \(O\),重心 \(G\),垂心 \(H\) が \(\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}\)を満たすことを用いると,外心が \((0, 0)\), 重心は \(\frac{2}{3}\cos\theta, \frac{2}{3}\sin\theta-\frac{2}{3}\) から垂心 \(2\cos\theta, 2\sin\theta-2\) がすぐに求まります.

したがって,垂心の座標 \((s, t)\) は \(s=2\cos\theta, t=2\sin\theta-2\) なので,

\begin{align*}
s^2 + (t+2)^2 &= 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\\
&= 4
\end{align*}

\(0<\theta<\pi\) より \(-2<s<2, t>-2\).

以上より,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡は円 \(x^2+(y+2)^2=4\) の \(y>-2\) の部分.

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