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平方数になる条件(自作問題30)
今回は，自作問題の30番の解説です． 問題． \(n(n+1)(n+2)(n+3)+k\) がすべての自然数 \(n\) に対して平方数となるような自然数 \(k\) を求めよ．
2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問
縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である．
東大 2020 理系 第4問
\(n, k\)を，\(1\leqq k\leqq n\)を満たす整数とする．\(n\)個の整数 \[2^m\quad(m=0, 1, 2, \ldots\ldots, n-1)\] から異なる\(k\)個を選んでそれらの積をとる．
神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数，積分)
\(a, b, c\) を実数とし，\(a\neq0\) とする．2 次関数 \(f(x)\) を\[f(x)=ax^2+bx+c\]で定める．曲線 \(y=f(x)\) は点 \(\left(2, 2-\dfrac{c}{2}\right)\) を通り，\[\int_0^3 f(x)\,dx=\dfrac{9}{2}\] をみたすとする．
神大 2019 年度理科系第 3 問(確率)
\(n\) を 2 以上の整数とする．2 個のさいころを同時に投げるとき，出た目の数の積を \(n\) で割った余りが 1 となる確率を \(P_n\) とする．
神大 2019 年度理科系第 4 問
次のように \(1, 3, 4\) を繰り返して並べて得られる数列を \(\{a_n\}\) とする．\(1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4, \ldots\)
京大 2019 年度理系第 5 問(最大値)
半径 1 の球面上の 5 点 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4\) は，正方形 \(\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) を底面とする四角錐をなしている．この 5 点が球面上を動くとき，四角錐 \(\mathrm{A}\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) の体積の最大値を求めよ．
京大 2019 年度理系第 4 問
1 つのさいころを \(n\) 回続けて投げ，出た目を順に \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) とする．このとき次の条件をみたす確率を \(n\) を用いて表せ．ただし \(X_0=0\) としておく．条件：\(1\leqq k\leqq n\) をみたす \(k\) のうち，\(X_{k-1}\leqq 4\) かつ \(X_k\geqq 5\) が成立するような \(k\) の値はただ 1 つである．