「 入試問題 」一覧

京大2021年度理系第6問(対偶証明:平均値の定理)

京大2021年度理系第6問(対偶証明:平均値の定理)

問1 \(n\) を \(2\) 以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ. 問2 \(a\) を \(1\) より大きい定数とする.微分可能な関数 \(f(x)\) が \(f(a)=af(1)\) を満たすとき,曲線 \(y=f(x)\) の接線で原点 \((0, 0)\) を通るものが存在することを示せ.

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京大2021年度理系第5問(軌跡)

京大2021年度理系第5問(軌跡)

\(xy\) 平面において,2点 \(\mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1), \mathrm{C}(\sqrt{3}, -1)\) に対し,点 \(\mathrm{A}\) は次の条件 \((\ast)\)を満たすとする. \((\ast)\)  \(\angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3}\) かつ点 \(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標は正. 次の各問に答えよ. (1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の外心の座標を求めよ. (2) 点 \(\mathrm{A}\) が条件 \((\ast)\) を満たしながら動くとき,\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の垂心の軌跡を求めよ.

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京大2021年度理系第4問(曲線の長さ)

京大2021年度理系第4問(曲線の長さ)

曲線 \(y=\log(1+\cos{x})\) の \(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\) の部分の長さを求めよ.

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京大2021年度理系第3問(無限級数)

京大2021年度理系第3問(無限級数)

無限級数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}\)の和を求めよ.

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京大2021年度理系第2問(微分・最小値)

京大2021年度理系第2問(微分・最小値)

曲線 \(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(\mathrm{P}\)における接線は\(x\)軸と交わるとし,その交点を\(\mathrm{Q}\)とおく.線分\(\mathrm{PQ}\)の長さを\(L\)とするとき,\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ.

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京大2021年度理系第1問-問2(確率)

京大2021年度理系第1問-問2(確率)

赤玉,白玉,青玉,黄玉が1個ずつ入った袋がある.よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し,その玉の色を記録してから袋に戻す.この試行を繰り返すとき,\(n\)回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ.ただし,\(n\)は4以上の整数とする.

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京大2021年度理系第1問-問1(ベクトル)

京大2021年度理系第1問-問1(ベクトル)

\(xyz\)空間の3点\(\mathrm{A}(1, 0, 0), \mathrm{B}(0, -1, 0), \mathrm{C}(0, 0, 2)\)を通る平面\(\alpha\)に関して点\(\mathrm{P}(1, 1, 1)\)と対称な点\(\mathrm{Q}\)の座標を求めよ.

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2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問

2020年度 京大 理系第5問, 文系第5問

縦4個,横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく.このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.下図はこのような入れ方の1例である.

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東大 2020 理系 第4問

東大 2020 理系 第4問

\(n, k\)を,\(1\leqq k\leqq n\)を満たす整数とする.\(n\)個の整数 \[2^m\quad(m=0, 1, 2, \ldots\ldots, n-1)\] から異なる\(k\)個を選んでそれらの積をとる.

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神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数,積分)

神大 2019 年度文科系第 1 問(2 次関数,積分)

\(a, b, c\) を実数とし,\(a\neq0\) とする.2 次関数 \(f(x)\) を\[f(x)=ax^2+bx+c\]で定める.曲線 \(y=f(x)\) は点 \(\left(2, 2-\dfrac{c}{2}\right)\) を通り,\[\int_0^3 f(x)\,dx=\dfrac{9}{2}\] をみたすとする.

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