京大 2021 年度理系第 5 問(最大値)
半径 1 の球面上の 5 点 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}_1, \mathrm{B}_2, \mathrm{B}_3, \mathrm{B}_4\) は，正方形 \(\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) を底面とする四角錐をなしている．この 5 点が球面上を動くとき，四角錐 \(\mathrm{A}\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_3\mathrm{B}_4\) の体積の最大値を求めよ．
京大 2021 年度理系第 4 問
1 つのさいころを \(n\) 回続けて投げ，出た目を順に \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) とする．このとき次の条件をみたす確率を \(n\) を用いて表せ．ただし \(X_0=0\) としておく．条件：\(1\leqq k\leqq n\) をみたす \(k\) のうち，\(X_{k-1}\leqq 4\) かつ \(X_k\geqq 5\) が成立するような \(k\) の値はただ 1 つである．
京大 2021 年度理系第 3 問(積分)
鋭角三角形 \(\mathrm {ABC}\) を考え，その面積を \(S\) とする．\(0
京大 2021 年度理系第 2 問
\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする．\(|f(n)|\) と \(|f(n+1)|\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ．
京大 2021 年度理系第 1 問 (積分など)
\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) とする．\(\cos\theta\) は有理数ではないが，\(\cos{2\theta}\) と \(\cos{3\theta}\) がともに有理数となるような \(\theta\) の値を求めよ．ただし，\(p\) が素数のとき，\(\sqrt{p}\) が有理数でないことは証明なしに用いてよい．
